2022-2022版数学新学案北师大版选修2-2练习：第三章-导数应用-3习题课-Word版含解析.docx

习题课导数的综合应用课后训练案巩固提升A组1.函数f(x)=x3-3x2+1的递减区间是()A.(2,+)B.(-,2)C.(-,0)D.(0,2)解析:由f(x)=3x2-6x0,得0x0恒成立,f(x)在(-,+)上是增加的.故函数f(x)在(-,+)上无极值,也无最值.答案:A3.对一切实数x,不等式x4+ax2+10恒成立,则实数a的取值范围是()A.-2,2B.0,2C.-2,+)D.-4,+)解析:当x=0时,10成立,当x0时,x20,不等式x4+ax2+10恒成立,转化为a-1-x4x2max.令t=x2(t0),f(t)=-1-t2t=-t-1t,f(t)=-1+1t2.当f(t)0时,0t1,当f(t)1,当t=1时,f(t)max=-2,即-1-x4x2max=-2.a-2.答案:C4.已知实数a,b,c,d成等比数列,且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则ad等于()A.2B.1C.-1D.-2解析:a,b,c,d成等比数列,ad=bc.又(b,c)是函数y=3x-x3的极大值点,c=3b-b3,且0=3-3b2.b=1,c=2,或b=-1,c=-2(舍去).ad=2.答案:A5.函数f(x)=13x3-x2+a,函数g(x)=x2-3x,它们的定义域均为1,+),并且函数f(x)的图像始终在函数g(x)图像的上方,则a的取值范围是()A.(0,+)B.(-,0)C.-43,+D.-,-43解析:设h(x)=13x3-x2+a-x2+3x,则h(x)=x2-4x+3=(x-3)(x-1),所以当x(1,3)时,h(x)是减少的;当x(3,+)时,h(x)是增加的.当x=3时,函数h(x)取得最小值.因为f(x)的图像始终在g(x)的图像上方,则有h(x)min0,即h(3)=a0,所以a的取值范围是(0,+).答案:A6.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点,则常数a=.解析:f(x)=ax+2bx+1,由题意得a+2b+1=0,a2+4b+1=0,解得a=-23.答案:-237.若函数f(x)=-12x2+bln(x+2)在(-1,+)上是减少的,则b的取值范围是.解析:函数f(x)在(-1,+)上是减少的,f(x)0在(-1,+)上恒成立.f(x)=-x+bx+2,-x+bx+20.bx(x+2)在(-1,+)上恒成立,b-1.答案:(-,-18.设函数f(x)=aln x-bx2,a,bR.若函数f(x)在x=1处与直线y=-12相切.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)在1e,e上的最大值.解(1)f(x)=ax-2bx,函数f(x)在x=1处与直线y=-12相切,f(1)=a-2b=0,f(1)=-b=-12,解得a=1,b=12.(2)f(x)=ln x-12x2,f(x)=1x-x=1-x2x.当1exe时,令f(x)0,得1ex1;令f(x)0,得10,可得x13,令f(x)0,可得-3x13,函数f(x)的递增区间为(-,-3)和13,+,递减区间为-3,13.10.导学号88184041设函数f(x)=x3-6x+5,xR.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根,求实数a的取值范围;(3)已知当x(1,+)时,f(x)k(x-1)恒成立,求实数k的取值范围.解(1)f(x)=3x2-6,令f(x)=0,解得x1=-2,x2=2,当x2时,f(x)0;当-2x2时,f(x)0.f(x)的递增区间为(-,-2)和(2,+);f(x)的递减区间为(-2,2).当x=-2时,f(x)有极大值,为5+42,当x=2时,f(x)有极小值,为5-42.(2)由(1)知函数y=f(x)的图像大致形状如图所示.当5-42a1,kx2+x-5在(1,+)上恒成立.令g(x)=x2+x-5,g(x)=2x+10(x1),g(x)在(1,+)上是增加的.g(x)g(1)=-3.k的取值范围是(-,-3.B组1.函数f(x)的定义域为R,f(-2)=2 017,对任意xR,都有f(x)x2+2 013的解集为()A.(-2,2)B.(-2,+)C.(-,-2)D.(-,+)解析:令F(x)=f(x)-x2-2 013,则F(x)=f(x)-2x0,F(x)在R上是减少的.又F(-2)=f(-2)-4-2 013=2 017-2 017=0,当xF(-2)=0.不等式f(x)x2+2 013的解集为(-,-2).答案:C2.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.(1)若f(x)的递减区间是(-1,1),则a的取值集合是.(2)若f(x)在区间(-1,1)上是减少的,则a的取值集合是.解析:f(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3).(1)f(x)的递减区间为(-1,1),-1和1是方程f(x)=0的两根.3-2a3=1.a=0,即a的取值集合为0.(2)f(x)在区间(-1,1)上是减少的,f(x)0,f(x)=1-2x+ax2,函数f(x)在定义域上是增加的,f(x)0,即a2x-x2=-(x-1)2+1.-(x-1)2+11(当x=1时,取等号)a的取值范围是1,+).(2)g(x)=ex2x-1+2lnx-x,由(1)得a=2时,f(x)=x-2ln x-2x+1,f(x)在定义域上是增加的,又f(1)=0,当x(0,1)时,f(x)0.当x(0,1)时,g(x)0,当x(1,+)时,g(x)0.当x=1时,g(x)取得最大值g(1)=-e.4.导学号88184042已知函数f(x)=x3+bx2+cx+1在区间(-,-2上是增加的,在区间-2,2上是减少的,且b0.(1)求f(x)的表达式;(2)设0m2,若对任意的x,xm-2,m,不等式|f(x)-f(x)|16m恒成立,求实数m的最小值.分析:(1)先由条件得f(-2)=0,再由范围控制求得b.(2)关键是|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min,进而转化为求函数在m-2,m上的最值即可.解(1)f(x)=x3+bx2+cx+1,f(x)=3x2+2bx+c.f(x)在区间(-,-2上是增加的,在区间-2,2上是减少的,方程f(x)=3x2+2bx+c=0有两个不等实根x1,x2,且x1=-2,x22.x1+x2=-2b3,x1x2=c3,x2=-2b3+2.-2b3+22.b0.已知b0,b=0.x2=2,c=-12.f(x)=x3-12x+1.(2)对任意的x,xm-2,m,不等式|f(x)-f(x)|16m恒成立,等价于在区间m-2,m上,f(x)max-f(x)min16m.f(x)=x3-12x+1,f(x)=3x2-12.由f(x)=3x2-120,解得-2x2.f(x)的递减区间为-2,2.0m2,m-2,m-2,2.f(x)在区间m-2,m上是减少的,f(x)max=f(m-2)=(m-2)3-12(m-2)+1,f(x)min=f(m)=m3-12m+1,f(x)max-f(x)min=(m-2)3-12(m-2)+1-(m3-12m+1)=-6m2+12m+16.f(x)max-f(x)min16m,-6m2+12m+1616m,3m2+2m-80,解得m-2,或m43.0m2,mmin=43.