2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)试题(湖南卷详解).docx

2022湖南卷(文科数学)12022湖南卷 设命题p：xR，x210，那么綈p为()Ax0R，x10Bx0R，x10Cx0R，x10DxR，x2101B解析由全称命题的否认形式可得綈p：x0R，x10.22022湖南卷 集合Ax|x2，Bx|1x3，那么AB()Ax|x2Bx|x1Cx|2x3Dx|1x32C解析由集合运算可知ABx|2x332022湖南卷 对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，中选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，那么()Ap1p2p3Bp2p3p1Cp1p3p2Dp1p2p33D解析不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等概率抽样，每个个体被抽中的概率均为.4、2022湖南卷 以下函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是()Af(x)Bf(x)x21Cf(x)x3Df(x)2x4A解析由偶函数的定义，可以排除C，D，又根据单调性，可得B不对52022湖南卷 在区间2，3上随机选取一个数X，那么X1的概率为()A.B.C.D.5B解析由几何概型概率计算公式可得P.62022湖南卷 假设圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，那么m()A21B19 C9D116C解析依题意可得C1(0，0)，C2(3，4)，那么|C1C2|5.又r11，r2，由r1r215，解得m9.72022湖南卷 执行如图11所示的程序框图，如果输入的t2，2，那么输出的S属于()图11A6，2 B5，1C4，5 D3，67D解析 (特值法)当t2时，t2(2)219，S936，排除A，B，C.8、2022湖南卷 一块石材表示的几何体的三视图如图12所示，将该石材切削、打磨，加工成球，那么能得到的最大球的半径等于()图12A1B2 C3D48B解析由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得R2.92022湖南卷 假设0x1x21，那么()Aex2ex1lnx2lnx1Bex2ex1lnx2lnx1Cx2ex1x1ex2Dx2ex1x1ex29C解析 依题可构造函数f(x)，那么f(x).当x(0，1)时，f(x)0，所以f(x)在区间(0，1)上递减，故0x1x21时有f(x1)f(x2)，即x2ex1x1ex2.102022湖南卷 在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|1，那么|的取值范围是()A4，6 B1，1C2，2 D1，110D解析由|1，得动点D在以点C为圆心，半径为1的圆上，故可设D(3cos，sin)，所以(2cos ，sin)，所以|2(2cos)2(sin)284cos2sin82sin()，所以|282，82，即|1，1112022湖南卷 复数(i为虚数单位)的实部等于_113解析因为3i，所以实部为3.122022湖南卷 在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为_12xy10解析依题意，消去参数可得x2y1，即xy10.132022湖南卷 假设变量x，y满足约束条件那么z2xy的最大值为_137解析依题意，画出可行域，如下列图由得点B的坐标为(3，1)，那么z2xy在B(3，1)处取得最大值7.14、2022湖南卷平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x1的距离相等假设机器人接触不到过点P(1，0)且斜率为k的直线，那么k的取值范围是_14(，1)(1，)解析依题意可知机器人运行的轨迹方程为y24x.设直线l：yk(x1)，联立消去y得k2x2(2k24)xk20，由(2k24)24k40，得k21，解得k1或k1.152022湖南卷 假设f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，那么a_15解析由偶函数的定义可得f(x)f(x)，即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，2axlne3x3x，a.16、2022湖南卷 数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和16.解：(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知，bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，那么T2n(212222n)(12342n)记A212222n，B12342n，那么A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.17、2022湖南卷 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)其中a，a分别表示甲组研发成功和失败；b，b分别表示乙组研发成功和失败(1)假设某组成功研发一种新产品，那么给该组记1分，否那么记0分试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平(2)假设该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率17解：(1)甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，其平均数为x甲，方差为s.乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，其平均数为x乙，方差为s.因为x甲x乙，ss，所以甲组的研发水平优于乙组(2)记E恰有一组研发成功在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，共7个，故事件E发生的频率为.将频率视为概率，即得所求概率为P(E).18、2022湖南卷 如图13所示，二面角MN的大小为60，菱形ABCD在面内，A，B两点在棱MN上，BAD60，E是AB的中点，DO面，垂足为O.图13(1)证明：AB平面ODE；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值18解：(1)证明：如图，因为DO，AB，所以DOAB.连接BD，由题设知，ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DEAB.而DODED，故AB平面ODE.(2)因为BCAD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即ADO是BC与OD所成的角由(1)知，AB平面ODE，所以ABOE.又DEAB，于是DEO是二面角MN的平面角，从而DEO60.不妨设AB2，那么AD2，易知DE.在RtDOE中，DODEsin60.连接AO，在RtAOD中，cosADO.故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.19、2022湖南卷 如图14所示，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE1，EC，EA2，ADC，BEC.(1)求sinCED的值；(2)求BE的长图1419解：设CED.(1)在CDE中，由余弦定理，得EC2CD2DE22CDDEcosEDC，于是由题设知，7CD21CD，即CD2CD60，解得CD2(CD3舍去)在CDE中，由正弦定理，得.于是，sin，即sinCED.(2)由题设知，0，于是由(1)知，cos.而AEB，所以cosAEBcoscoscos sinsin cos sin .在RtEAB中，cosAEB，故BE4.20、2022湖南卷 如图15所示，O为坐标原点，双曲线C1：1(a10，b10)和椭圆C2：1(a2b20)均过点P，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形(1)求C1，C2的方程(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|AB|证明你的结论.图1520解：(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c22，2a12，从而a11，c21.因为点P在双曲线x21上，所以1，故b3.由椭圆的定义知2a22.于是a2，bac2.故C1，C2的方程分别为x21，1.(2)不存在符合题设条件的直线(i)假设直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x或x.当x时，易知A(，)，B(，)，所以|2，|2.此时，|.当x时，同理可知，|.(ii)假设直线l不垂直于x轴，设l的方程为ykxm，由得(3k2)x22kmxm230.当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1，x2是上述方程的两个实根，从而x1x2，x1x2.于是y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.由得(2k23)x24kmx2m260.因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式16k2m28(2k23)(m23)0.化简，得2k2m23.因此x1x2y1y20，于是222222，即|2|2.故|.综合(i)，(ii)可知，不存在符合题设条件的直线21、2022湖南卷 函数f(x)xcosxsinx1(x0)(1)求f(x)的单调区间；(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(iN*)个零点，证明：对一切nN*，有.21解： (1)f(x)cosxxsinxcosxxsinx.令f(x)0，得xk(kN*)当x(2k，(2k1)(kN)时，sinx0，此时f(x)0; 当x(2k1)，(2k2)(kN)时，sinx0.故f(x)的单调递减区间为(2k，(2k1)(kN)，单调递增区间为(2k1)，(2k2)(kN)(2)由(1)知，f(x)在区间(0，)上单调递减又f0，故x1.当nN*时，因为f(n)f(1)nn1(1)n1(n1)10，且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(n，(n1)内至少存在一个零点又f(x)在区间(n，(n1)上是单调的，故nxn1(n1).因此，当n1时，；当n2时，(41)；当n3时，.综上所述，对一切nN*，.