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2.2 抛物线的简单性质
课后训练案巩固提升
A组
1.已知抛物线y2=ax(a≠0)的准线是x=-1,则它的焦点坐标是( )
A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(-1,0)
解析:∵准线为x=-a4=-1,∴a=4,即y2=4x.
∴焦点坐标为(1,0).
答案:A
2.如图,F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|等于( )
A.6 B.4 C.3 D.2
解析:由FA+FB+FC=0,知F为△ABC的重心,由抛物线方程知,F(1,0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),∴x1+x2+x3=3.
又|FA|+|FB|+|FC|=x1+x2+x3+32p=3+3=6.
答案:A
3.已知直线l过抛物线y2=8x的焦点且与它交于A,B两点,若AB中点的横坐标为3,则|AB|等于( )
A.7 B.5 C.8 D.10
解析:焦点为F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2×3=6,所以|AB|=|FA|+|FB|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=10.
答案:D
4.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|等于( )
A.43 B.8 C.83 D.16
解析:直线AF的方程为y=-3(x-2),联立y=-3x+23,x=-2,得y=43,所以点P的坐标为(6,43).由抛物线的性质,得|PF|=|PA|=6+2=8.
答案:B
5.过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若点A,B在抛物线的准线上的射影分别为A1,B1,则∠A1FB1为( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
解析:设抛物线的方程为y2=2px(p>0).
如图,∵|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,
∴∠AA1F=∠AFA1,
∠BFB1=∠FB1B.
又AA1∥Ox∥B1B,
∴∠A1FO=∠FA1A,∠B1FO=∠FB1B.
∴∠A1FB1=12∠AFB=90°.
答案:C
6.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:
①焦点在y轴上;
②焦点在x轴上;
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;
④抛物线的通径的长为5;
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).
能使这条抛物线的方程为y2=10x的条件是 (要求填写适合条件的序号).
解析:由抛物线的方程为y2=10x,知它的焦点在x轴上,
∴②适合.
又∵抛物线的焦点坐标为F52,0,原点O(0,0),
设点P(2,1),可得kPO·kPF=-1,∴⑤也适合.
而①显然不适合,通过计算可知③④不合题意.
∴应填序号为②⑤.
答案:②⑤
7.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=23x上,另一个顶点在原点,则这个三角形的边长是 .
解析:有两个顶点关于x轴对称,进而得到两边所在直线的倾斜角是π6和5π6.
可设三角形的边长为a,x轴上方的顶点为x0,33x0,代入抛物线方程,得x0=63.
由32a=63,得边长a=12.
答案:12
8.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+12y2+3的最小值是 .
解析:∵点(x,y)在抛物线y2=4x上,∴x≥0.
∵z=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,
∴当x=0时,z最小,其最小值为3.
答案:3
9.已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,求当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点?
解将l和C的方程联立,得y=kx+1,y2=4x.
消去y,得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)
(1)当k=0时,方程(*)只有一个解x=14,y=1.
∴直线l与C只有一个公共点14,1,此时直线l平行于x轴.
(2)当k≠0时,方程(*)是一个一元二次方程.
①当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点,此时直线l与C相交;
②当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;
③当Δ<0,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述,当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;当k>1时,直线l与C没有公共点.
10.导学号90074069已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D.
(1)求证:点F在直线BD上;
(2)设FA·FB=89,求直线l的方程.
解设直线l与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则点D的坐标为(x1,-y1).
由题意,得l的方程为x=my-1(m≠0).
(1)证明:将x=my-1代入y2=4x,
并整理,得y2-4my+4=0.
从而y1+y2=4m,y1y2=4.①
直线BD的方程为y-y2=y2+y1x2-x1·(x-x2),
即y-y2=4y2-y1·x-y224.
令y=0,得x=y1y24=1.
所以点F(1,0)在直线BD上.
(2)由①知,x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,x1x2=(my1-1)(my2-1)=1.
因为FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),
所以FA·FB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2,
故8-4m2=89,解得m=±43.
所以l的方程为3x+4y+3=0,3x-4y+3=0.
B组
1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2x1x2为( )
A.4 B.-4 C.p2 D.-p2
解析:(方法一)特例法:当直线垂直于x轴时,Ap2,p,Bp2,-p,y1y2x1x2=-p2p24=-4.
(方法二)①当直线斜率不存在时,直线方程为x=p2.由x=p2,y2=2px得交点坐标p2,±p.
∴x1x2=p24,y1y2=-p2,y1y2x1x2=-p2p24=-4.
②当直线斜率存在时,直线方程为y=kx-p2.
由y=kx-p2,y2=2px得y2-2pky-p2=0.
∴y1y2=-p2,x1x2=y122p·y222p=p24,
则y1y2x1x2=y1·y2y122p·y222p=4p2y1y2=4p2-p2=-4.
答案:B
2.导学号90074070如图,
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l,交抛物线于A,B两点,且|FA|=3,则抛物线的方程是 .
解析:过点A,B向准线x=-p2作垂线,垂足分别为C,D,过B点向AC作垂线,垂足为E.
∵A,B两点在抛物线y2=2px上,
∴|AC|=|AF|,|BD|=|BF|.
∵BE⊥AC,∴|AE|=|AF|-|BF|.
∵直线AB的倾斜角为60°,
∴在Rt△ABE中,2|AE|=|AB|=|AF|+|BF|,
即2(|AF|-|BF|)=|AF|+|BF|,
∴|AF|=3|BF|.
∵|AF|=3,∴|BF|=1,∴|AB|=|AF|+|BF|=4.
设直线AB方程为y=3x-p2,代入y2=2px,得3x2-5px+3p24=0,
∴x1+x2=5p3,∴|AB|=x1+x2+p=4.
∴p=32,∴抛物线方程为y2=3x.
答案:y2=3x
3.已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关于直线y=-kx+92对称,求k的取值范围.
解(方法一)由题意,知k≠0,设M(x1,y1),N(x2,y2)是关于直线对称的两点,
则MN的方程可设为y=1kx+b,代入y=x2,得x2-1kx-b=0,且Δ=1k2+4b>0.①
又x1+x2=1k,中点x0=12k,y0=12k2+b,(x0,y0)在直线l:y=-kx+92上,
∴12k2+b=-k·12k+92,∴b=4-12k2.②
②代入①,得1k2+16-2k2>0.
∴1k2<16,即k2>116,
∴k>14或k<-14.
(方法二)设M(x1,x12),N(x2,x22),关于直线l对称,则MN⊥l.
∴x12-x22x1-x2=1k,即x1+x2=1k.又MN的中点在l上,
∴x12+x222=-k·x1+x22+92=-k·12k+92=4,由于弦的中点必在抛物线开口内,有x12+x222>x1+x222,即4>12k2,∴k2>116,即k>14或k<-14.
4.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.求证:
(1)x1x2为定值;
(2)1|FA|+1|FB|为定值.
证明(1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为Fp2,0,当直线的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx-p2(k≠0).
由y=kx-p2,y2=2px,消去y,整理,得k2x2-p(k2+2)x+k2p24=0.由根与系数的关系,得x1x2=p24为定值.
当直线的斜率不存在,即AB⊥x轴时,x1=x2=p2,x1x2=p24也成立.∴x1x2为定值p24.
(2)当直线的斜率存在时,由抛物线的定义知,|FA|=x1+p2,|FB|=x2+p2.∴1|FA|+1|FB|=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+pp2(x1+x2)+x1x2+p24=x1+x2+pp2(x1+x2)+p22=x1+x2+pp2(x1+x2+p)=2p为定值.
当直线的斜率不存在,即AB⊥x轴时,|FA|=|FB|=p,上式也成立.
∴1|FA|+1|FB|为定值2p.
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