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一、选择题(每题6分，共36分)
1．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，那么甲、乙两人下成和棋的概率为( )
A．60% B．30%
C．10% D．50%
【解析】 甲不输， 包含两个事件：甲获胜，甲乙和棋．
∴甲乙和棋概率P＝90%－40%＝50%.
【答案】 D
2．盒子中有一角、五角、一元硬币各2枚，有放回地摸出2枚硬币(每次摸出1枚)，那么两枚硬币的面值相同的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 总的根本领件为6×6＝36个，取值相同的事件数为CCC个，故其概率为.
【答案】 A
3．有3个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2人在车厢内相遇的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 方法一：设A＝{至少有2人在车厢内相遇}，A1＝{恰有2人在车厢内相遇}，A2＝{3人在同一车厢内相遇}，
那么A＝A1＋A2且A1、A2彼此互斥，
∵P(A1)＝，P(A2)＝.
∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＝.
方法二：事件A的对立事件为3人分别在3节车厢，那么P()＝，
∴P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.
【答案】 B
4．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
【解析】 由互斥事件、对立事件的定义可知互斥不一定对立，对立一定互斥，即甲是乙的必要但不是充分条件，应选B.
【答案】 B
5．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 含0的三位数有：C·C·A＝144.
不含0的三位数有：A＝504.
所有三位数共有：144＋504＝648.
把1～9分为3类．
第一类是除以3余1的有1,4,7.
第二类是除以3余2的有2,5,8.
第三类是能被3整除的有3,6,9.
不含有0且能被3整除的三位数有：
(C·C·C＋C＋C＋C)·A＝180.
含有0且能被3整除的三位数有：
(C·C＋C)C·A＝48.
故能被3整除的三位数共有180＋48＝228.
设此事件为A，那么P(A)＝＝，故不能被3整除的概率为1－P(A)＝，选B.
【答案】 B
6．(2022年甘肃模拟)福娃是北京2022年第29届奥运会桔祥物，每组福娃都由“贝贝〞、“晶晶〞、“欢欢〞、“迎迎〞和“妮妮〞这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，那么在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝〞和“晶晶〞恰好只有一个被选中的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 此题分甲选中桔祥物和乙选中桔祥物两种情况，
先甲选后乙选的方法有5×4＝20，
甲选中乙没有选中的方法有2×3＝6，概率为＝，
乙选中甲没有选中的方法有2×3＝6，概率为＝，
∴恰有一个被选中的概率为＋＝.
【答案】 C
二、填空题(第小题6分，共18分)
7．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，那么在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．
【解析】 由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.
【答案】 0.95
8．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，那么甲不输的概率是________．
【解析】 “甲获胜〞记为事件A，“两人下成和棋〞记为事件B，那么易知A与B互斥，所以甲不输的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.3＋0.5＝0.8.
【答案】 0.8
9．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
【解析】 设事件A为“甲夺得冠军〞，事件B为“乙夺得冠军〞，那么P(A)＝，P(B)＝，因为事件A和事件B是互斥事件．∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
【答案】
三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)
10．一个口袋内有4个不同的红球和6个不同的白球，从中任取4个不同的球，试求红球的个数不比白球少的概率．
【解析】 从袋中任意取4个球，记恰有2个红球和2个白球、恰有3个红球和1个白球、全是红球依次为事件A，B，C，那么P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
因为A，B，C彼此互斥，所以红球个数不比白球个数少的概率为
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝
(CC＋CC＋C)＝.
∴红球的个数不比白球少的概率为.
11．袋子里装有30个小球，其中彩球中有n(n≥2)个红球、5个蓝球、10个黄球，其余为白球．假设从袋子里取出3个都是相同颜色彩球的概率是，求红球的个数，并求从袋子中任取3个小球至少有1个是红球的概率．
【解析】 任取3个球的方法数为C＝4 060.
设“3个球全为红球〞为事件A，“3个球全为蓝球〞为事件B，“3个球全为黄球〞为事件C，那么
P(B)＝＝，P(C)＝＝.
∵A、B、C为互斥事件，∴P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)，即＝P(A)＋＋⇒P(A)＝0.
∴红球的个数n≤2.又∵n≥2，故n＝2.
记“3个球中至少有1个是红球〞为事件D，那么为“3个球中没有红球〞，那么P(D)＝1－P()＝1－＝
12．将一颗骰子先后抛掷两次，得到的点数分别记为a、b.
(1)求点P(a，b)落在区域内的概率；
(2)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1不相切的概率．
【解析】 (1)先后两次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，那么事件总数为6×6＝36.
∴表示的平面区域如下图：
当a＝1时，b＝1,2,3,4
a＝2时，b＝1,2,3
a＝3时，b＝1,2
a＝4时，b＝1
共有(1,1)，(1,2)，…，(4,1)10种情况，
∴P＝＝.
(2)∵直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的充要条件是＝1，即a2＋b2＝25，
∵a、b∈{1,2,3,4,5,6}，
满足条件的情况只有：a＝3，b＝4或a＝4，b＝3两种情况，
∴直线与圆相切的概率P＝＝.
∴直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1不相切的概率P＝1－＝.
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