2009度新课标高三下学期数学单元测试4文科.doc

2009—2010学年度下学期
高三文科数学综合测试（4）
[新课标版]

注意事项：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上、考试结束，试题和答题卡一并收回．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

参考公式：
球的表面积公式：S＝4πR2，其中R是球的半径．
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：
Pn（k）＝Cpk（1-p）n-k（k＝0，1，2，…，n）．
如果事件A．B互斥，那么P（A+B）＝P（A）+P（B）．
如果事件A．B相互独立，那么P（AB）＝P（A）·P（B）．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A＝{y|y=,-1≤x≤1},B＝{y|y＝,x≤0},则A∩B等于 （ ）
A．（-∞,-1） B．[-1,1] C． D． {1}
2．由点P（2,4）向直线x+y+b=0引垂线，垂足为Q（4,3），则z=+bi的模为 （ ）
A． B． C． D．

3．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的
正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积
为 （ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法错误的是 （ ）
A．命题“若x2-3x+2＝0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2-3x+2≠0”
B．“x＞1”，是“|x|>1”的充分不必要条件
C．若pq为假命题，则p、q均为假命题
D．若命题p：“x∈R，使得x2+x+1＜0”,则p：“x∈R，均有x2+x+1≥0”
5．已知非零向量与满足（+）·=0,且·=-,则△ ABC为 （ ）
A． 等腰非等边三角形 B．等边三角形
C． 三边均不相等的三角形 D．直角三角形
6．若定义运算（*b）=则函数（3x*3-x）的值域是 （ ）
A．（0，1） B．[1，+∞]
C． （0．＋∞） D．（-∞，+∞）
7．（2009年深圳模拟）已知函数=（x-）（x-b）（其中>b），若的图象如下图所 示，则函数g（x）=x+b的图象是 （ ）

8．在中，为边中线上的一点，若，则的 （ ）
A．最大值为8 B．最大值为4
C．最小值－4 D．最小值为－8
9．已知函数的导函数为，则函数零点的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10． （2009年济南模拟）已知椭圆（a>b>0）与双曲线（m>0,n>0）有相同的焦点（-c,0）和（c,0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是 （ ）
A． B． C． D．
11． （2009年青岛模拟）设集合A={1,2},B={1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a,b）落在直线x+y=n上”为事件Cn（2≤n≤5,n∈N）,若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为 （ ）
A．3 B．4 C．2和5 D．3和4
12．（2009年天津模拟）设a=（a1，a2）,b=（b1,b2）．定义一种向量积
．已知，点P（x,y）在y=sinx的图象上运动,点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别为 （ ）
A．2, B．2,4 C． D．

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上。
13．已知x,y∈Z,n∈N*，设f（n）是不等式组表示的平面区域内可行解的个数，则f（1）= ；f（2） = ；f （n） = ．

14．下列命题：
①G2=ab是三个数a、G、b成等比数列的充要条件；
②若函数y=f（x）对任意实数x都满足f（x+2）=-f（x），则f（x）是周期函数；
③对于命题,则；
④直线与圆C：x2＋y2=a（a>0）相离．
其中不正确命题的序号为 （把你认为不正确的命题序号都填上）．
15．在实数集R中定义一种运算“*”，具有下列性质：
①对任意,b∈R, *b=b*；
②对任意∈R, *0=；
③对任意,b∈R, （*b）*c=c*（b）+（*c）+（b*c）-2c,
则1*2= ；函数x*（x>0）的最小值为 ．
16．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据：
观测次数
1
2
3
4
5
6
7
8
观测数据
40
41
43
43
44
46
47
48

在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图（其中是这8个数据的平均数），则输出的的值是____．

三、解答题：共大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（本题满分12分）
某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：h），可以把这批电子元件分成第一组［100，200］，第二组（200，300］，第三组（300，400］，第四组（400，500］，第五组（500，600］，第六组（600,700］，由于工作不慎将部分数据丢失，现有以下图表．

（1）求图2中的A及表格中的B,C,D,E,F,G,H,I的值；
（2）求上图中阴影部分的面积；
（3）若电子元件的使用时间超过300 h，则为合格产品，求这批电子元件合格的概率．

18．（本题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．

19．（本小题满分12分）
如图所示,正四棱锥中，侧棱与底面所成的角的正切值为．
（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；
（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；
A
C
B
D
O
E
P
g
（3）问在棱AD上是否存在一点，使⊥侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分12分）
已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数f'（x）=2x+2，数列的前n项和为，点（n，Sn）（n∈N*）均在函数的图像上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，Tn是数列{bn}的前n项和，求．

21．（本题满分12分）
已知定义在上的函数，其中为常数。
（I）若当时，函数取得极值，求的值；
（II）若函数在区间（－1，0）上是增函数，求的取值范围；
（III）若函数，在处取得最大值，求正数的取值范围。

22．（本题满分14分）
已知定点C（-1，0）及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．
（1）若线段AB中点的横坐标是-，求直线AB的方程；
（2）在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题：
1． 解析： D．
A＝{y|y=,-1≤x≤1}={y|-1≤y≤1},B＝{y|y=,x≤0}={y|y≥1},A∩B={1}．
2． 解析：A．
由条件得：解得,从而z=-2+5i,
则|z|==．
3． 解析：D．
由题意得，该几何体的直观图是一个底面半径为,母线长为1的圆锥．其侧面展开图是一扇形，弧长为2πr=π，
∴这个几何体的侧面积为，故选D．
4．解析： C．
选项C中pq为假命题，则p、q中至少有一个为假命题即可，所以p、q均为假命题是错误的．
5． 解析：A．
、分别是、方向的单位向量,向量+在∠BAC的平分线上,由（+）·=0知,AB=AC,由·=-,可得∠CAB=1200,∴△ABC为等腰非等边三角形,故选A．
6． 解析:A．
当x>0时;（3x*3-x）=3-x,
当x=0时，（30*30）=30=1,
当x<0时，（3x*3-x）=3x,
故选A．
7． 解析: A ．
由的图象知:0<<l,b<-1,排除C, D, 又g（0）=l+b<0,排除B，故选A．
8． 解析：A
，当且仅当，即点为的中点时，等号成立．故的最大值为8．选A项．
9． 解析：B
∵，∴，函数的零点即为方程的根，即为函数和的交点的横坐标，在同一坐标系中分别作出函数和的图象，观察图象可得两个函数图象只有一个交点，故函数只有1个零点．选B项．
10． 解析： D
由题意：
∴,
∴,
∴．故选D．
11．解析：D
事件Cn的总事件数为6．
只要求出当n=2,3,4,5时的基本事件个数即可．
当n=2时,落在直线x+y=2上的点为（1,1）；
当n=3时,落在直线x+y=3上的点为（1,2）,（2,1）;
当n=4时,落在直线x+y=4上的点为（1,3）,（2,2）；
当n=5时,落在直线x+y=5上的点为（2,3）；
显然当n=3,4时．事件Cn的概率最大为，故选D．
12． 解析：C．
设Q（x,y），P（x0，y0），
则由
得,
代入得，
则y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别为,故选C．
二、填空题：
13．填：1 3
解析：画出可行域：

当n=1时，可行域内的整点为（1,0）,∴f（1）=1,
当n=2时，可行域内的整点为（1,0）、（2,0）、（1,1），∴f（2）=3,
由此可归纳出f（n）=1+2+3+…+n=
14． 答案：①③④
解析：当a=b=G=0时，G2=ab,但是a,G,b不构成等比数列，①不正确，②f（x+2）＝-f（x）=f（x-2），∴T=4,f（x）为周期函数．②正确；③命题，因此,③不正确．④圆心（0,0）到直线的距离为大于或等于圆的半径，④不正确．

15．解析：填5 3．
由性质知1*2=（1*2）*0=0*（1×2）+（1*0）+（2*0）-2×0=（1×2）*0+1+2=2+1+2=5；
依照上面的计算求得x*（x>0）≥3，故填5 3．
16．解析：填7
该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，
因为这8个数据的平均数，
故其方差．故输出的的值为7．
三、解答题：
17．解析：（1）由题意可知0．1=A·100，∴A=0．001，
∵频率＝频数／总数，∴,∴B=20,
∴C=0．1，D=0．15，E=40，F=80，G=0．1，
∴H=10，I=0．05． …………… 5分
（2）阴影部分的面积0．4+0．1＝0．5 ……………9分
（3）电子元件的使用时间超过300h的共有15O个，这批电子元件合格的概率
……………12分
18．解:（Ⅰ）根据正弦定理
, ……4分
又,
． …………………………6分
（Ⅱ）由余弦定理得:
,……8分
代入b+c=4得bc=3, ………………………10分
故△ABC面积为 ……………………………………12分
19．解：（1）取中点，设，连、，则为二面角的平面角，为侧棱与底面所成的角，,
设,,
∴∠PMO=60°． 4分
（2）连，∥，为异面直线与所成的角．
．
∵
∴……8分
（3）延长莫MO交BC于N，取PN中点G，连EG、MG．
．又

取中点，∵∥∴
∴∥．
∴⊥平面．即F为四等分点……… 12分
20．解：（1）f（x）=x2+2x ………… 2分
所以，Sn=n2+2n，当n=1，a1=S1=3，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1，
∴an=2n+1（n∈N*） ………………6分
（2）因为bn= ………… 10分
所以Tn= …12分
21．解：（I）
时，函数取得极值，； ………………2分
（II）①当=0时，在区间（－1，0）上是增函数，符合题意；
②当；
当>0时，对任意符合题意；
当<0时，当符合题意；
综上所述， ………………………………………………6分
（ 解法2：在区间（－1，0）恒成立，，
在区间（－1，0）恒成立，又，）
（III）
………………8分
令
设方程（*）的两个根为式得，不妨设．
当时，为极小值，所以在[0，2]上的最大值只能为或；
当时，由于在[0，2]上是单调递减函数，所以最大值为，
所以在[0，2]上的最大值只能为或，
又已知在x=0处取得最大值，所以 ……………………10分
即 。 ………………12分
22．解 （1）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1）,
将y=k（x+1）代入x2+3y2=5,
消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k2-5=0． …………2 分
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
①
②
则 …………4分
由线段AB中点的横坐标是-，
得=-=-,解得k=±，适合①． ……………6分
所以直线AB的方程为x-y+1=0,或x+y+1=0．………………7分
（2）假设在x轴上存在点M（m，0），使为常数．
（ⅰ）当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知
x1+x2=-,x1x2=． ③
所以=（x1-m）（x2-m）+y1y2
=（x1-m）（x2-m）+k2（x1+1）（x2+1）
=（k2+1）x1x2+（k2-m）（x1+x2）+k2+m2． …………9分
将③代入，整理得
=+m2
=+m2
=m2+2m--． ………………11分
注意到是与k无关的常数，从而有
6m+14=0，m=-，此时=． ………………12分
（ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为、，
当m=-时，亦有=．
综上，在x轴上存在定点M，使为常数． …………14分