2022-2022学年高中数学课时跟踪检测十二距离的计算北师大版选修2-.doc

课时跟踪检测〔十二〕 距离的计算
一、根本能力达标
1．平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(2，－1,0)在α内，那么P(1,3，－2)到α的距离为(　　)
A．10　　　 B．3　　　　
C.　　　　 D.
解析：选C　＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，所以P到α的距离为＝＝.
2．正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为a，点M在上且＝，N为B1B的中点，那么||为(　　)
A.a B.a C.a D.a
解析：选A　以D为原点建立如下图的空间直角坐标系，
那么A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.
设M(x，y，z)．
∵点M在上且＝.
∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，
∴x＝a，y＝，z＝.于是M.
∴||＝
＝a.
3.如图，P－ABCD是正四棱锥，ABCD－A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝，那么B1到平面PAD的距离为(　　)
A．6　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，设平面PAD的法向量是n＝(x，y，z)，由题意知，B1(2,0,0)，A(0,0,2)，D(0,2,2)，P(1,1,4)．＝(0,2,0)，＝(1,1,2)，
∴·n＝0，且·n＝0.
∴y＝0，x＋y＋2z＝0，取z＝1，得n＝(－2,0,1)．
∵＝(－2,0,2)，∴B1到平面PAD的距离d＝＝.
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，那么点A1到截面AB1D1的距离为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析：选C　如图，建立空间直角坐标系，
那么D(0,0,0)，A(2,0,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2，4)，D1(0,0,4)．
∴＝(2,2,0)，
＝(2,0，－4)，＝(0,0,4)，
设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的一个法向量，
那么n⊥，n⊥，∴即
令z＝1，那么平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．
∴由在n上射影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.
5．如下图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，那么点B1到平面ABC1的距离为________．
解析：建立如下图的空间直角坐标系，那么C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，
那么＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)，设平面ABC1的法向量为n＝(x，y,1)，
那么有，解得n＝，
那么d＝||＝＝.
答案：
6．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，M，N分别是棱AD，AB，CD，BC的中点，那么平面A1EF与平面B1NMD1的距离为________．
解析：建立如下图的空间直角坐标系，那么A1(1,0,0)，B1(1,1,0)，E，F，D1(0,0,0)，M，N.
∵E，F，M，N分别是棱的中点，
∴MN∥EF，A1E∥B1N.
∴平面A1EF∥平面B1NMD1.
∴平面A1EF与平面B1NMD1的距离即为A1到平面B1NMD1的距离．
设平面B1NMD1的法向量为n＝(x，y，z)，
∴n·＝0，且n·＝0.
即(x，y，z)·(1,1,0)＝0，且(x，y，z)·＝0.
∴x＋y＝0，且－x＋z＝0，
令x＝2，那么y＝－2，z＝1.
∴n＝(2，－2,1)，n0＝.
∴A1到平面B1NMD1的距离为d＝|·n0|
＝＝.
答案：
7.如图，正方形ABCD，边长为1，过D作PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别是AB和BC的中点．求直线AC到平面PEF的距离．
解：由题意知直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，那么A(1,0,0)，P(0,0,1)，E，F，
∴＝，＝.
设n＝(x，y，z)是平面PEF的一个法向量，
那么由得
令x＝1，那么y＝1，z＝，
∴n＝.又∵＝(－1,0,1)，
∴d＝＝＝.
8.如下图的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.求点C到平面AEC1F的距离．
解：建立如下图的空间直角坐标系，那么D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)．　
设n为平面AEC1F的法向量，
显然n不垂直于平面ADF，故可设n＝(x，y,1)．
由得
即
∴n＝.
又＝(0,0,3)．
∴C到平面AEC1F的距离为
d＝＝＝.
二、综合能力提升
1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，那么点A1与对角线BC1所在的直线间的距离为(　　)
A.a　　　　　　　 B．a
C.a D.
解析：选A　建立如下图的空间直角坐标系，那么A1(a,0，a)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)．
∴＝(0，a，－a)，＝(－a,0，a)．
∴||＝a，||＝a.
∴点A1到BC1的距离d
＝
＝ ＝a.
2．PD⊥正方形ABCD所在平面，PD＝AD＝1，那么C到平面PAB的距离d＝(　　)
A．1　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.
解析：选C　以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系．
那么A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，
∴＝(－1,0,1)，＝(0,1,0)，＝(－1,1,0)，
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
∴即
令x＝1，那么z＝1，∴n＝(1,0,1)．
∴d＝＝＝.
3.四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．
(1)求证：DE∥平面PFB；
(2)求点E到平面PFB的距离．
解：(1)证明：以D为原点， 建立如下图的空间直角坐标系，
那么P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0，1,1)． ＝(－1,0,2)，
＝(1,2,0)，＝(0,1,1)，
∴＝＋，
∴∥平面PFB.
又∵DE⊄平面PFB，
∴DE∥平面PFB.
(2)∵DE∥平面PFB，
∴点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离．
设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，
那么⇒
令x＝2，得y＝－1，z＝1.
∴n＝(2，－1,1)，又∵＝(－1,0,0)，
∴点D到平面PFB的距离
d＝＝＝.
∴点E到平面PFB的距离为.
4.如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)假设二面角D­PC­A的余弦值为，求点A到平面PBC的距离．
解：(1)证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
(2)设AP＝h，取CD的中点E，那么AE⊥CD，∴AE⊥AB.又PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AE，PA⊥AB，故建立如下图的空间直角坐标系，
那么A(0,0,0)，P(0,0，h)，C，D，B(0,2,0)，
＝，＝(0,1,0)，
设平面PDC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
那么即
取x1＝h，∴n1＝.
由(1)知平面PAC的一个法向量为＝，
∴|cos〈n1，〉|＝＝，解得h＝，
同理可求得平面PBC的一个法向量n2＝(3，，2)，
所以，点A到平面PBC的距离为
d＝＝＝.