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北京四中初三综合练习
数学 2022.10
班级姓名 学号
一、选择题：
1．，那么锐角A的度数是 〔 〕
A．B．C．D．
2. △ABC∽△DEF，且AB:DE=1:2，那么△ABC的周长与△DEF的周长之比为 〔 〕
A．2:1 B．1:2 C．1:4 D． 4:1
3．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为〔 〕
A. B. C. D.
4．如图，点F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，那么以下结论错误的选项是〔 〕
A．B．
C．D．
5.如图，、、三点在正方形网格线的交点处.假设将△绕着点逆时针旋转得到△，那么的值为( )
A. B. C. D. 1
6．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，那么的值是〔 〕
A．B．C．D．
7．设是三个互不相同的正数，如果，那么〔 〕
B
x
C
A
O
y
1
1
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为〔－，1〕，点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC．当点C〔x，y〕在第一象限内时，以下列图象中，可以表示y与x的函数关系的是〔 〕
x
O
y
1
1
A
x
O
1
B
1
y
x
1
C
1
y
O
x
O
y
1
1
D
二、填空题：E
D
A
C
B
9．如图，∠DAB＝∠CAE，要使△ABC∽△ADE，那么补充的一个条件
可以是〔注：只需写出一个正确答案即可〕．
10．.如图，△与△是位似图形，且顶点都在格点上，那么位似中心的坐标是．
11．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部〔点O〕20米的A处，那么小明的影子AM长为米．
12.在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1〔1，1〕，A2，那么点A3的纵坐标是，点的纵坐标是．
三、解答题：
13. 计算：.
14．计算：－2cos30°＋－︱1－︱
15.解方程：
16. 如图，在△中，、两点分别在、两边上，，，,求的长．
17．：如图，在△ABC中，∠A=30°, tanB=，AC=18，
求：BC、AB的长.
18．：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B．
〔1〕求证：△ABE∽△DEA；
〔2〕假设AB=4，求的值．
19．如图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，在观测点C测得其仰角是，火箭又上升了到达点时，测得其仰角为，求观测点C到发射点O的距离.
(结果精确到.参考数据：，，〕.
B
A
C
F
D
E
20．如图, 直角梯形纸片ABCD中, AD∥BC, ∠A=90°, tanC=. 折叠纸片使BC经过点D.点C落在点E处,BF是折痕, 且BF= CF =8.
(1) 求∠BDF的度数; (2) 求AB的长.
21．：在△中，为锐角，，，，求的长.
22．当时，以下关系式中有且仅有一个正确.
A. B.
C.
〔1〕正确的选项是；
〔2〕如图1，△中， ，∠＝，，请利用此图证明〔1〕中的结论；
〔3〕两块分别含的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，=，求.
图1 图2
23．如图1，四边形，点为平面内一动点. 如果，那么我们称点为四边形关于、的等角点.如图2，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点的横坐标为6.
〔1〕假设、两点的坐标分别为、，当四边形关于、的等角点在边上时，那么点的坐标为；
〔2〕假设、两点的坐标分别为、，当四边形关于、的等角点在边上时，求点的坐标；
〔3〕假设、两点的坐标分别为、，点为四边形关于、的等角点，其中，，求与之间的关系式.
图1 图2
备用图1 备用图2
24. ：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足，连结MC，NC，MN．
〔1〕填空：与△ABM相似的三角形是△，=；〔用含a的代数式表示〕
〔2〕求的度数；
〔3〕猜想线段BM，DN和MN之间的数量关系并证明你的结论．
25．〔1〕如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE//BC，AQ交DE于点P,求证：=
(2)如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG,AF分别交DE于M,N两点。
①如图2，假设AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：MN=DM·EN
综合练习参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
C
B
C
A
A
二、填空题：
9. 或 或， 10.
11. 5 12.，
三、 解答题：
13. . 14. 15.
16.解： 在△和△中，
∵，∴△∽△.
∴. ∴.
17. 过C作CH⊥AB于H， BC=15, AB=.
18．〔1〕利用∠AED=∠B, ∠BAE=∠DEC=∠ADE
(2)16
19．解：设，
在中，，∴.
.
又.
在中，，∴.
解得.
20.解：〔1〕90º (2) AB=6
21. 解：过点作⊥于.
在△中，,∵=，，
∴=
由勾股定理,可得=.
在△中，,
由勾股定理,可得.
∵
∴ 当两点在异侧时,可得 .
当两点在同侧时,可得 .
∴边的长为或.
22. 解：〔1〕.
〔2〕如图, 过点作⊥交的延长线于点.
∵∠＝，，，∴.
∴在△中，，.
∵在△中，，∠＝，
∴.
过点作⊥于.
∴在△中，，.
在△中，，.
∴.
∴.
〔3)由上面证明的等式易得.
如图，过点作⊥交的延长线于点.
∵△和△是两个含的直角三角形，=，
∴，，.
∵.
∴ 在△中，，
.
∴ == =.
23．解：〔1〕；
〔2〕依题意可得，,
∴△∽△. ∴
∵∴.
∴ 点的坐标为.
〔3〕根据题意可知，不存在点在直线上的情况；
当点不在直线上时，分两种情况讨论：
① 当点在直线的上方时，点在线段的延长线上，此时有；
② 当点在直线的下方时，过点作⊥轴，分别交直线、于、两点.与〔2〕同理可得 △∽△,.由点的坐标为，可知、两点的坐标分别为、.
∴.可得 .
∴.
综上所述，当，时，与之间的关系式为或.
24. 解：〔1〕与△ABM相似的三角形是△NDA，；
〔2〕由〔1〕△ABM∽△NDA可得．
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC，DA= BC，．
∴．
∵BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，
∴．
∴△BCM∽△DNC．
∴．
∴
．
〔3〕线段BM，DN和MN之间的等量关系是．
将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF．那么△ABF≌△ADN．
∴，AF=AN，BF=DN，．
∴．
∴．
又∵AM= AM，
∴△AMF≌△AMN．
∴MF=MN．
可得 ．
∴ 在Rt△BMF中，．
∴．
25.〔1〕证明：在△ABQ中，由于DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴DP/BQ＝AP/AQ．
同理在△ACQ中，EP/CQ＝AP/AQ．
∴DP/BQ＝EP/CQ．
〔2〕 ．
〔3〕证明：∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°．
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC．
∴DG/CF＝BG/EF，
∴DG·EF＝CF·BG
又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG
由〔1〕得DM/BG＝MN/GF＝EN/CF∴〔MN/GF〕2＝(DM/BG)·(EN/CF)
∴MN2＝DM·EN
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