2023版高考数学一轮复习核心素养测评三十四数列求和苏教版.doc

核心素养测评三十四 数列求和
(30分钟　60分)
一、选择题(每题5分,共25分)
1.数列{an}的通项公式是an=,假设前n项和为10,那么项数n为 (　　)
A.120 B.99　 C.11　 D.121
【解析】选A.an=
=
=-,
所以a1+a2+…+an
=(-1)+(-)+…+(-)
=-1=10.
即=11,所以n+1=121,n=120.
2.数列{an}的通项公式是an=2n-3,那么其前20项和为 (　　)
A.380- B.400-
C.420- D.440-
【解析】选C.令数列{an}的前n项和为Sn,
那么S20=a1+a2+…+a20
=2(1+2+…+20)-3
=2×-3×
=420-.
3.在数列{an}中,an=,假设{an}的前n项和Sn=,那么n= (　　)
A.3 B.4　 C.5 D.6
【解析】选D.由an==1-得:
Sn=n-=n-,
那么Sn==n-,将各选项中的值代入验证得n=6.
4.(多项选择)数列{an}:,+,++,…,++…+,…,假设bn=,设数列{bn}的前n项和为Sn,那么 (　　)
A.an= B.an=n
C.Sn= D.Sn=
【解析】选AC.由题意得an=++…+==,
所以bn===4,
所以数列{bn}的前n项和Sn=b1+b2+b3+…+bn
=4
=4=.
5.数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),Sn是数列{an}的前n项和,
那么S2 020= (　　)
A.22 020-1 B.3×21 010-3
C.3×21 010-1 D.3×22 020-2
【解析】选B.依题意得an·an+1=2n,an+1·an+2=2n+1,于是有=2,即=2,数列a1,a3,a5,…,a2n-1,…是以a1=1为首项,2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2n,…是以a2=2为首项,2为公比的等比数列,于是有S2 020=(a1+a3+a5+…+a2 019)+(a2+a4+a6+…+a2 020)
=+=3×21 010-3.
二、填空题(每题5分,共15分)
6.在数列{an}中,假设an+1+(-1)nan=2n-1,那么数列{an}的前12项和等于______________. 
【解析】由an+1+(-1)nan=2n-1,得an+2+(-1)n+1·an+1=2n+1,得an+2+an=(-1)n(2n-1)+(2n+1),取n=1,5,9及n=2,6,10,结果相加可得S12=a1+a2+a3+a4+…+a11+a12=78.
答案:78
7.数列{an},{bn},假设b1=0,an=,当n≥2时,有bn=bn-1+an-1,那么b10=________.  
【解析】由bn=bn-1+an-1得bn-bn-1=an-1,
所以b2-b1=a1,b3-b2=a2,…,bn-bn-1=an-1,
所以b2-b1+b3-b2+…+bn-bn-1
=a1+a2+…+an-1
=++…+,
即bn-b1=a1+a2+…+an-1
=++…+
=-+-+…+-=1-=,
又因为b1=0,所以bn=,所以b10=.
答案:
8.设数列{an}的通项公式为an=,令bn=nan,那么数列{bn}的前n项和Sn
为________.  
【解析】由bn=nan=n·知,
Sn=1×2+2×23+3×25+…+n×,　①
从而22×Sn=1×23+2×25+3×27+…+n·,②
①-②得(1-22)·Sn=2+23+25+…+-
n·,即Sn=[(3n-1)+2].
答案: [(3n-1)+2]
三、解答题(每题10分,共20分)
9.(2023·兰州模拟)数列的前n项和Sn满足2Sn=,且an>0.
(1)求数列的通项公式.
(2)假设bn=,记数列的前n项和为Tn,证明:Tn≥.
【解析】(1)当n=1时,2S1==2a1,
因为a1>0,所以a1=2,
当n≥2时,2an=2
=-,
所以=0,
因为an>0,所以an-an-1-1=0,所以an-an-1=1,
所以是以a1=2为首项,d=1为公差的等差数列,所以an=n+1.
(2)由(1)得an=n+1,
所以bn==-,
所以Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=++…++=-3,
因为Tn+1-Tn=-=>0,所以是递增数列,
所以Tn≥T1=-3=.
10.数列{an}的各项均为正数,且-2nan-(2n+1)=0,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)假设bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)由-2nan-(2n+1)=0得
[an-(2n+1)]·(an+1)=0,
所以an=2n+1或an=-1,
又数列{an}的各项均为正数,负值应舍去,
所以an=2n+1,n∈N*.
(2)因为bn=2n·an=2n·(2n+1),
所以Tn=2×3+22×5+23×7+…+2n×(2n+1),①
2Tn=22×3+23×5+…+2n×(2n-1)+2n+1×(2n+1),②
由①-②得-Tn=6+2×(22+23+…+2n)-2n+1×(2n+1)
=6+2×-2n+1×(2n+1)=-2+2n+1(1-2n).
所以Tn=(2n-1)·2n+1+2.
(15分钟　35分)
1.(5分)假设数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),那么a1+a2+a3+…+a10= (　　)
A.15 B.12 C.-12 D.-15
【解析】选A.因为an=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-13+16-19+22-25+28=(-1+4)+(-7+10)+(-13+16)+(-19+22)+
(-25+28)=3×5=15.
【变式备选】
数列{an}的前n项和为Sn,通项公式an=n·(-1)n+1,那么S17= (　　)
A.10　　　 B.9　　　 C.8　　　 D.7
【解析】选B.S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.
【一题多解】解决此题还可以采用以下方法:
选B.S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=(1+3+…+17)-(2+4+…+16)=81-72=9.
2.(5分)等比数列{an}的首项为,公比为-,其前n项和为Sn,那么Sn的最大值为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.因为等比数列{an}的首项为,公比为-,所以Sn==1-,当n取偶数时,Sn=1-<1;
当n取奇数时,Sn=1+≤1+=.
所以Sn的最大值为.
【变式备选】
数列{an}满足an+1=+,且a1=,那么该数列的前20项的和等
于________. 
【解析】因为a1=,又an+1=+,
所以a2=1,从而a3=,a4=1,
即得an=
故数列的前20项的和等于S20=10×=15.
答案:15
3.(5分)(2023·扬州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=
,bn=(-1)n·(log3an)2,那么an=________,数列{bn}的前2n项和为________. 
【解析】根据题意,数列{an}满足2Sn=an+1①,那么当n≥2时,有2Sn-1=an②,由①-②可得(an+1-3an)=0,因为1-≠0,所以an+1-3an=0,
即an+1=3an(n≥2).由2Sn=an+1,可求得a2=3,a2=3a1,那么数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=,bn=(-1)n·
(log3an)2=(-1)n·(log3)2=(-1)n(n-1)2,那么b2n-1+b2n=-(2n-2)2+(2n-1)2=4n-3.
所以数列{bn}的前2n项和T2n=1+5+9+…+(4n-3)==2n2-n.
答案:3n-1　2n2-n
4.(10分)等差数列{an}的公差为d,且方程a1x2-dx-3=0的两个根分别为-1,3.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)假设bn=+2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)由题知,解得
故数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)由(1)知bn=+2an=22n-1+2(2n-1)
=+4n-2,
那么Sn=×(4+42+43+…+4n)+(2+6+10+…+4n-2)
=×+
=+2n2-.
【变式备选】
数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=2,an+1=2Sn+2.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)假设数列{bn}满足:bn=an+log3an,求数列{bn}的前2n项和S2n.
【解析】(1)因为an+1=2Sn+2,①
所以当n≥2时, an=2Sn-1+2,②
①-②得:an+1-an=2an
⇒an+1=3an,又a1=2,由①得
a2=2a1+2=6,所以a2=3a1,
所以{an}是以2为首项,3为公比的等比数列,
所以an=2×3n-1.
(2)因为bn=an+(-1)nlog3an
=2×3n-1+(-1)nlog3(2×3n-1)
=2×3n-1+(-1)n[log32+(n-1)log33]
=2×3n-1+(-1)n(-1+log32)+(-1)nn
所以S2n=b1+b2+…+b2n
=2(1+3+32+…+32n-1)+0+n
=32n+n-1.
5.(10分){an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式.
(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).
【解析】(1)因为b2+b3=12,且b1=2,
所以q2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2,所以bn=2n.
设等差数列{an}的公差为d,
由b3=a4-2a1可得3d-a1=8,①
由S11=11b4可得a1+5d=16,②
联立①②解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.
所以{an}的通项公式为an=3n-2,{bn}的通项公式为bn=2n.
(2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2得
Tn=4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n,
2Tn=4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n+(6n-2)×2n+1,
上述两式相减得:
-Tn=4×2+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1=-4-(6n-2)×2n+1
=-(3n-4)2n+2-16.
所以Tn=(3n-4)2n+2+16.
所以数列{a2nbn}的前n项和为(3n-4)2n+2+16.
1.数列的前n项积为Tn,假设对∀n≥2,n∈N*,都有Tn+1·Tn-1=2T 成立,且a1=1,a2=2,那么数列的前10项和为____________. 
【解析】因为Tn+1·Tn-1=2T ,
故=2,即=2(n≥2),而=2,
所以是首项为1,公比为2的等比数列,故an=2n-1,所以S10==1 023.
答案:1 023
2.正项数列{an}中,a1=1,a2=2,2=+(n≥2),bn=,数列{bn}的前n项和为Sn,那么S33的值是________.  
【解析】因为2=+(n≥2),
所以数列{}是首项为1,公差为22-1=3的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2.
所以an=,所以bn=
==(-),
所以数列{bn}的前n项和
Sn=[(-1)+(-)+…+(-)]=(-1).
那么S33=(10-1)=3.
答案:3
- 9 -