资源描述
课时跟踪训练(二十三)
(时间45分钟)
题型对点练(时间20分钟)
题组一 向量数量积的坐标运算
1．假设向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，那么实数m的值为( )
A．－ B. C．2 D．6
[解析] ∵a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，
∴3×2＋m×(－1)＝0，∴m＝6.
[答案] D
2．假设a＝(2,1)，b＝(3,4)，那么向量a在向量b方向上的射影的数量为( )
A．2 B．2 C. D．10
[解析] 设a，b的夹角为θ，那么|a|cosθ＝|a|·＝＝＝2.
[答案] B
3．点A(1，－2)，假设向量与a＝(2,3)同向，||＝2，那么点B的坐标是________．
[解析] 由题意可设＝λa(λ>0)，
∴＝(2λ，3λ)，又||＝2，
∴(2λ)2＋(3λ)2＝(2)2，
解得λ＝2(λ＝－2舍去)．
∴＝(4,6)，又A(1，－2)，∴B(5,4)．
[答案] (5,4)
题组二 向量的模
4．平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于( )
A．5 B. C. D．13
[解析] 因为a＋b＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝，应选B.
[答案] B
5．向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，那么|b|＝( )
A. B. C．5 D．25
[解析] ∵|a＋b|＝5，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋2×10＋b2＝(5)2，∴|b|＝5，应选C.
[答案] C
6．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，假设a∥b，那么|3a＋b|等于________．
[解析] ∵a∥b，∴1×y＝－2×2，解得y＝－4.
又∵3a＋b＝(3,6)＋(－2，－4)＝(1,2)，
∴|3a＋b|＝＝.
[答案]
题组三 向量的夹角
7．a＝(－5,5)，b＝(0，－3)，那么a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
[解析] a·b＝－15，|a|＝＝5，|b|＝3，
∴cosθ＝＝＝－(θ为a与b的夹角)，又θ∈[0，π]，∴θ＝.
[答案] D
8．向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈，那么向量a，b的夹角为( )
A.π－θ B．θ－
C.＋θ D．θ
[解析] cos〈a，b〉＝＝＝－sinθ
＝cos，
∵θ∈，∴π－θ∈，
又〈a，b〉∈[0，π]，
∴〈a，b〉＝π－θ.
[答案] A
9．设平面向量a＝(－2,1)，b＝(λ，－1)(λ∈R)，假设a与b的夹角为钝角，那么λ的取值范围是________．
[解析] 由题意得a·b<0⇒(－2,1)·(λ，－1)<0⇒λ>－.
又设b＝ta(t<0)，
那么(λ，－1)＝(－2t，t)，
∴t＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a和b反向，不满足题意，
∴λ∈∪(2，＋∞)．
[答案] ∪(2，＋∞)
综合提升练(时间25分钟)
一、选择题
1．a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，那么实数λ的值为( )
A．－ B. C．－ D.
[解析] 由a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，知λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．又∵(λa＋b)·(a－2b)＝0，
∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－.
[答案] A
2．向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈，那么|a＋b|的取值范围是( )
A．[0，] B．[1，]
C．[1,2] D．[，2]
[解析] |a＋b|＝＝.
∵θ∈，∴cosθ∈[0,1]．∴|a＋b|∈[，2]．
[答案] D
3．向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P使·有最小值，那么点P的坐标是( )
A．(－3,0) B．(2,0)
C．(3,0) D．(4,0)
[解析] 设点P的坐标为(x,0)，那么＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1).·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，·有最小值1，∴点P的坐标为(3,0)，应选C.
[答案] C
二、填空题
4．在直角三角形ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，那么k的值为________．
[解析] ①当A＝90°时，⊥，
∴·＝2×1＋3k＝0，解得k＝－.
②当B＝90°时，⊥，∵＝－＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k－3)，∴·＝2×(－1)＋3×(k－3)＝0，解得k＝.
③当C＝90°时，⊥，∴1×(－1)＋k(k－3)＝0，即k2－3k－1＝0，解得k＝.
[答案] －或或
5．点A(2,3)，假设把向量绕原点O按逆时针方向旋转90°得到向量，那么点B的坐标为________．
[解析] 设点B的坐标为(x，y)，因为⊥，||＝||，所以解得或(舍去)．故B点的坐标为(－3,2)．
[答案] (－3,2)
三、解答题
6．四点坐标：A(－1,3)，B(1,1)，C(4,4)，D(3,5)．
(1)求证：四边形ABCD是直角梯形；
(2)求cos∠DAB的值．
[解] (1)证明：＝(2，－2)，＝(1，－1)，＝(3,3)，
∴＝2，∴∥.
又·＝2×3＋(－2)×3＝0，∴⊥.又||≠||，∴四边形ABCD为直角梯形．
(2)∵＝(4,2)，＝(2，－2)，
∴||＝＝2，||＝＝2.
又·＝2×4＋(－2)×2＝4，
∴cos∠DAB＝＝＝.
7．O为坐标原点，＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，那么在线段OC上是否存在点M，使得⊥？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由．
[解] 假设存在点M，且＝λ＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，
∴＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)．
∵⊥，
∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，
即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝.
∴＝(2,1)或＝.
∴存在M(2,1)或M满足题意．
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