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压轴题(四)
12．已知函数f(x)＝ax－a2－4(a>0，x∈R)，若p2＋q2＝8，则的取值范围是( )
A．(－∞，2－) B．[2＋，＋∞)
C．(2－，2＋) D．[2－，2＋]
答案 D
解析 ＝＝，表示点A(p，q)与点B连线的斜率．又a＋≥4，故取点E(4,4)．
当AB与圆的切线EC重合时，kAB取最小值，可求得kEC＝tan15°＝2－，所以的最小值为2－；当AB与圆的切线ED重合时，kAB取最大值，可求得kED＝tan75°＝2＋，所以的最大值为2＋；故的取值范围是[2－，2＋]．
16．(2019·江西上饶重点中学六校第二次联考)已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋2f(x)＋m＝0有三个不同的实根，则m的取值范围为________．
答案 (－∞，－3]
解析 作出函数f(x)的图象如图：
设f(x)＝a，当a≥1时，f(x)＝a有两个实根；当a<1时，f(x)＝a有一个实根．所以当关于x的方程f2(x)＋2f(x)＋m＝0有三个不同的实根时，t2＋2t＋m＝0的两实根一个比1大，一个比1小，所以1＋2＋m<0，即m<－3.当m＝－3时，f(x)＝1或f(x)＝－3符合题意．综上可得m≤－3.
20．(2019·安徽蚌埠第三次教学质量检查)某地种植常规稻α和杂交稻β，常规稻α的亩产稳定为485公斤，今年单价为3.70元/公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.90元/公斤的可能性为70%，变为4.00元/公斤的可能性为20%.统计杂交稻β的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图1，统计近10年杂交稻β的单价(单位：元/公斤)与种植亩数(单位：万亩)的关系，得到的10组数据记为(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，并得到散点图如图2.
(1)根据以上数据估计明年常规稻α的单价平均值；
(2)在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻β的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有两年杂交稻β的亩产超过795公斤的概率；
(3)①判断杂交稻β的单价y(单位：元/公斤)与种植亩数x(单位：万亩)是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程；
②调查得知明年此地杂交稻β的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻α和杂交稻β中选择，明年种植哪种水稻收入更高？
统计参考数据：＝1.60，＝2.82，(xi－)(yi－)＝－0.52，(xi－)2＝0.65.
附：线性回归方程＝x＋，＝，＝－ .
解 (1)设明年常规稻α的单价为ξ，则ξ的分布列为
ξ
3.70
3.90
4.00
P
0.1
0.7
0.2
E(ξ)＝3.7×0.1＋3.9×0.7＋4×0.2＝3.9，估计明年常规稻α的单价平均值为3.9元/公斤．
(2)杂交稻β的亩产平均值为[(750＋810＋820)×0.005＋(760＋800)×0.01＋(770＋790)×0.02＋780×0.025]×10＝78.2×10＝782.
依题意，知杂交稻β的亩产超过795公斤的概率P＝0.1＋0.05×2＝0.2，则将来三年中至少两年杂交稻β的亩产超过795公斤的概率为C×0.22×(1－0.2)＋0.23＝0.104.
(3)①∵散点图中各点大致分布在一条直线附近，
∴可以判断杂交稻β的单价y与种植亩数x线性相关，
由题中提供的数据，得＝＝－0.8，
＝－ ＝2.82＋0.8×1.60＝4.10，
∴线性回归方程为＝－0.8x＋4.10.
②估计明年杂交稻β的单价＝－0.8×2＋4.10＝2.50元/公斤，估计明年杂交稻β的每亩平均收入为782×2.50＝1955元，估计明年常规稻α的每亩平均收入为485×E(ξ)＝485×3.9＝1891.5元，
∵1955>1891.5，∴明年种植杂交稻β收入更高．
21．已知函数f(x)＝2aln x－x2＋3－2a，g(x)＝xf(x)，其中a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数g(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解 (1)由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝－2x＝，所以
①当a≤0时，有f′(x)<0恒成立，从而f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减；
②当a>0时，有f′(x)＝
＝，
当x∈(0，)时，f′(x)>0，即f(x)在区间(0，)上单调递增；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，即f(x)在区间(，＋∞)上单调递减．
(2)由于g(x)＝2axln x－x3＋(3－2a)x，x>0，
所以g′(x)＝2aln x－3x2＋3＝2aln x－3(x2－1)，且g′(1)＝0，
①当a≤0时，有g′(x)≤0在区间[1，＋∞)上恒成立，即g(x)在区间[1，＋∞)上单调递减；
②当a>0时，令h(x)＝g′(x)＝2aln x－3x2＋3，
则h′(x)＝－6x＝
＝，
得x∈时，h′(x)>0，
即h(x)在区间上单调递增；
x∈时，h′(x)<0，
即h(x)在区间上单调递减．
从而0<a≤3时，h(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，
又因为g′(x)＝h(x)≤h(1)＝0，
所以g(x)在区间[1，＋∞)上单调递减；
当a>3时，h(x)在区间上单调递增．
从而在区间上g′(x)＝h(x)>h(1)＝0，
即g(x)在区间上单调递增，不符合题意．
综上，当函数g(x)在区间[1，＋∞)上单调递减时，a的取值范围为(－∞，3]．
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