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万有引力定律的拓展应用
（答题时间：20分钟）
1. 如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R，如果从球上挖去一个直径为R的球，放在距离为d=3R的地方。下列两种情况下，两球之间的万有引力分别为F1，F2，则以下说法正确的是（ ）
（1）从球的正中心挖去（如图甲所示）
（2）从与球相切处挖去（如图乙所示）
A. F1=F2 B. F1＞F2 C. F1：F2=175：164 D. F1：F2=49：4
2. 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，其密度为ρ，一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部的重力加速度大小为（万有引力常量G已知）（ ）
A. ρπG(R－d) B. ρπG(R－d)2 C. ρπG(R－d)3 D.
3. 假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体，一矿井深度为d＜R表面积很小，矿井方向沿着半径方向，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则下列有关物理过程正确的有（ ）
A. 矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为
B. 从井口由静止释放一个小球，小球沿着井做匀速直线下落
C. 如果将小球放入地心，由万有引力定律公式计算引力巨大，会将物体拉碎
D. 从井口释放一个小球，小球做加速度减小的加速运动
4. “洞穴”考察正日益成为野外科考的热点项目，已知某科考队在一较深垂直洞穴的底部测得重力加速度为地表重力加速度的k倍，假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则洞穴的深度为（ ）
A. (1－k)R B. (k－1)R C. (1－)R D.
5. 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。则距地心R和R两处的重力加速度大小之比为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R，如果从球上挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方，那么挖去部分与剩余部分的万有引力为____________。
1. C 解析：根据万有引力定律和力的合成法则可得
F1=
F2=
所以，故C正确，ABD错误。
2. A 解析：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g=，由于地球的质量为：M=，所以重力加速度的表达式可写成：
g=。
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R－d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度g′=
故A正确、BCD错误。
3. D 解析：A. 令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：
g=G，由于地球的质量为：M=ρπR3，所以重力加速度的表达式可写成：
g==πGρR。
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R－d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度g′=πGρ（R－d），矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为，A错误；
B. 由A分析知，靠近地心时，重力加速度逐渐减小，所以从井口由静止释放一个小球，小球沿着井做加速度逐渐减小的加速运动，B错误，D正确；
C. 万有引力定律公式成立的条件是两个物体可以看作质点，如果将小球放入地心，公式将不再成立，C错误。
4. A 解析：深度为d的洞穴底部的引力，由半径为R－d的球形部分产生。设地球的密度为ρ，在井底，在地球表面，g=
则=k
则洞穴的深度d=（1－k）R，故A正确，B、C、D错误。
5. A 解析：距地心R和R两处和地面处的角速度相等，
根据a=ω2r得距离地心R和R两处和地面处的重力加速度大小之比为4︰3。
6. 解：根据m=知，挖去部分的小球是整个实心球质量的。
挖去部分的质量m=，设没挖去前，对小球的引力，
挖去部分对小球的引力，
则挖去部分与剩余部分的万有引力大小为。
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