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[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．可能相交、平行、也可能异面
解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示．
答案：D
2．空间两个角α，β的两边分别对应平行且方向相同，若α＝50°，则β等于( )
A．50° B．130°
C．40° D．50°或130°
解析：由等角定理知β与α相等，故选A.
答案：A
3.
如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，G，H分别在边CD，DA上，且满足CG＝GD，DH＝2HA，则四边形EFGH为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．梯形
解析：因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF綊AC，
又＝，＝，
所以＝，所以HG綊AC，
所以EF∥HG且EF≠HG，
所以四边形EFGH为梯形．
答案：D
4．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
解析：由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．
答案：D
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1的所有面对角线中，与AB1成异面直线且与AB1成60°的有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：
如图，△AB1C是等边三角形，所以每个内角都为60°，所以面对角线中，所有与B1C平行或与AC平行的直线都与AB1成60°角．所以异面的有2条．
又△AB1D1也是等边三角形，同理满足条件的又有2条，共4条，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上)
解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．
答案：③④
7．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为__________________________；
(2)AD与BC′所成的角为__________________________．
解析：连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，
则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形．
∴∠A′BC′＝60°，
由AD∥BC，∴AD与BC′所成的角就是∠C′BC.
易知∠C′BC＝45°.
答案：(1)60° (2)45°
8．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________(填序号)．
解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．
答案：③
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1A，C1C的中点，求证：四边形MBND1为平行四边形．
证明：取B1B的中点P，连接C1P，MP.
因为N为C1C的中点，由正方体性质知C1N綊PB，所以四边形C1PBN为平行四边形，所以C1P綊BN，(*)
又因为M，P分别为A1A，B1B的中点，有MP綊A1B1.
又由正方体性质知A1B1綊C1D1，
所以MP綊C1D1，
所以四边形D1MPC1为平行四边形，
所以C1P綊MD1.
由(*)知MD1綊BN，
所以四边形MBND1为平行四边形．
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求AC与A1D所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
解析：(1)如图所示，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，
易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角(或其补角)．
∵AB1＝AC＝B1C，
∴∠B1CA＝60°.
即A1D与AC所成的角为60°.
(2)如图所示，连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
AC⊥BD，AC∥A1C1，
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF∥BD，∴EF⊥AC.
∴EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
[能力提升](20分钟，40分)
11．[2019·江西师大附中月考]已知a和b是成60°角的两条异面直线，则过空间一点且与a、b都成60°角的直线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：把a平移至a′与b相交，其夹角为60°.
60°角的补角的平分线c与a、b成60°角．
过空间这一点作直线c的平行线即满足条件．
又在60°角的“平分面”上还有两条满足条件，故选C.
答案：C
12.
[2019·江西新余一中月考]如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别为AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且＝＝，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH，FG间的距离为________．
解析：EH＝3，FG＝6×＝4，
设EH，FG间的距离为h，
则S梯形EFGH＝＝28，得h＝8 (cm)．
答案：8 cm
13.
已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：∠DNM＝∠D1A1C1.
证明：
如图，连接AC，在△ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点，
所以MN是△ADC的中位线，
所以MN∥AC，
由正方体的性质得AC∥A1C1，
所以MN∥A1C1.
又因为ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.
14．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB、CD的中点，若EF＝，求异面直线AD、BC所成角的大小．
解析：如图，取BD的中点M，连接EM，FM.
因为E、F分别是AB、CD的中点，
所以EM綊AD，FM綊BC，则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角．
因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，
在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，
在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝EF＝，
则sin∠EMH＝，于是∠EMH＝60°，
则∠EMF＝2∠EMH＝120°.
所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°.
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