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课时分层作业(二十一) 幂函数
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于( )
A. B．1
C. D．2
A [∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，∴k＝1，f＝＝，即α＝－，
∴k＋α＝.]
2．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )
B [因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．]
3．幂函数的图象过点(3, )，则它的单调递增区间是( )
A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
B [设幂函数为f(x)＝xα，因为幂函数的图象过点(3, )，所以f(3)＝3α＝＝3，解得α＝，所以f(x)＝x，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.]
4．设a∈，则使函数y＝xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是( )
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
A [当a＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；当a＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当a＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.]
二、填空题
6．已知幂函数f(x)＝xm的图象经过点，则f(6)＝________.
[依题意＝()m＝3，所以＝－1，m＝－2，
所以f(x)＝x－2，所以f(6)＝6－2＝.]
7．若幂函数f(x)＝(m2－m－1)x2m－3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.
－1 [∵f(x)＝(m2－m－1)x2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x，在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m＝－1时，f(x)＝x－5，符合题意．
综上可知，m＝－1.]
8．若幂函数y＝x(m，n∈N*且m，n互质)的图象如图所示，则下列说法中正确的是________．
①m，n是奇数且<1；②m是偶数，n是奇数，且>1；
③m是偶数，n是奇数，且<1；
④m，n是偶数，且>1.
③ [由题图知，函数y＝x为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限向上“凸”，所以<1，选③.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
[解] (1)若函数f(x)为正比例函数，则
∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.
10．已知幂函数y＝f(x)经过点.
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．
[解] (1)由题意，得f(2)＝2α＝，即α＝－3，故函数解析式为f(x)＝x－3.
(2)∵f(x)＝x－3＝，∴要使函数有意义，则x≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，
∴该幂函数为奇函数．
当x＞0时，根据幂函数的性质可知f(x)＝x－3在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f(x)是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
1．三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是( )
A．0.76＜60.7＜log0.76 B．0.76＜log0.76＜60.7
C．log0.76＜60.7＜0.76 D．log0.76＜0.76＜60.7
D [由指数函数和对数函数的图象可知：60.7＞1,0＜0.76＜1，log0.76＜0，∴log0.76＜0.76＜60.7，故选D.]
2．给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；
④f(x)＝；⑤f(x)＝.其中满足条件f>(x1>x2>0)的函数的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
A [①函数f(x)＝x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，
f＝；
②函数f(x)＝x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，
f<；
③在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，
f<；
④函数f(x)＝的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，
f>；
⑤在第一象限，函数f(x)＝的图象是一条凹形曲线，
故当x1>x2>0时，
f<.
故仅有函数f(x)＝满足当x1>x2>0时，f>.故选A.]
3．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[－1,2]上的最大值为4 ，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在区间[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
[当a>1时，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－在区间[0，＋∞)上为减函数，不合题意；若0<a<1，则a－1＝4，a2＝m，故a＝，m＝，检验知符合题意．]
4．已知幂函数f(x)＝x，若f(10－2a)<f(a＋1)，则a的取值范围是________．
3<a≤5 [因为f(x)＝x＝(x≥0)，
易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又f(10－2a)<f(a＋1)，
所以
解得
所以3<a≤5.]
5．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，函数g(x)＝(x－2)f(x)，求函数g(x)的最大值与最小值．
[解] 因为f(x)的图象过点，所以＝2α，
所以α＝－1，所以f(x)＝x－1，
所以g(x)＝(x－2)·x－1＝＝1－.
又g(x)＝1－在上是增函数，
所以g(x)min＝g＝－3，
g(x)max＝g(1)＝－1.
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