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2021?金版新学案?高三数学一轮复习 求函数零点近似解的一种计算方法-二分法备考水平测试 新人教B版
1.定义在R上的奇函数f(x)( )
A.未必有零点
B.零点的个数为偶数
C.至少有一个零点
D.以上都不对
【答案】 C
2.以以下图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是( )
【答案】 A
3.函数f(x)=x3+x2-2x-2,f(1)·f(2)<0,用二分法逐次计算时,假设x0是[1,2]的中点,那么f(x0)=________.
【答案】 0.625
4.函数g(x)的图象是连续不断的,x与g(x)的对应值表如下:
x
…
0
1
2
3
4
5
…
g(x)
…
-6
-2
3
10
21
40
…
函数g(x)在哪个区间有零点?为什么?
【解析】 ∵g(1)=-2<0,g(2)=3>0,
∴g(1)·g(2)<0,
∴g(x)在区间(1,2)内有零点.
(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!)
一、选择题(每题5分,共20分)
1.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是( )
A.[-2,1] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[1,2]
【解析】 ∵f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,f(-2)·f(1)<0,故可以取区间[-2,1]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算.
【答案】 A
2.假设函数f(x)的图象是连续不断的,且f(0)>0,f(1)·f(2)·f(4)<0,那么以下命题正确的选项是( )
A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B.函数f(x)在区间(1,2)内有零点
C.函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D.函数f(x)在区间(0,4)内有零点
【解析】 ∵f(1)·f(2)·f(4)<0,
∴f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于0.
假设f(1)<0,那么在(0,1)内有零点,在(0,4)内必有零点;
假设f(2)<0,那么在(0,2)内有零点,在(0,4)内必有零点;
假设f(4)<0,那么在(0,4)内有零点.
【答案】 D
3.y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,相应的x值与y的值如下表
x
1
2
3
4
5
6
y
0.5
-3
-2
3
4
-4
那么y=f(x)在区间(1,6)上零点个数为( )
A.3个 B.奇数
C.偶数 D.至少3个
【解析】 由表可知,在(1,2),(3,4),(5,6)三个区间内,y=f(x)各至少有一个零点,故在(1,6)内至少有3个.
【答案】 D
4.假设函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下:
f(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984
f(1.375)=
-0.260
f(1.437 5)=0.162
f(1.406 25)=-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A.1.2 B.1.3
C.1.4 D.1.5
【解析】 ∵|1.4375-1.375|=0.0625<0.1
∴f(x)的零点近似值可取1.437 5≈1.4,或1.375≈1.4.
【答案】 C
二、填空题(每题5分,共10分)
5.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1).
【解析】 因为|0.75-0.687 5|=0.062 5<0.1,所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解.
【答案】 0.75或0.687 5
6.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点x0=2.5,那么有根的区间是________.
【解析】 设f(x)=x3-2x-5,那么计算知f(2)与f(2.5)异号,故原方程的根位于(2,2.5)内
【答案】 (2,2.5)
三、解答题(每题10分,共20分)
7.用二分法求方程x3+5=0的根(精确到0.1).
【解析】 令f(x)=x3+5,由于f(-2)=-3<0,f(-1)=4>0,故取区间[-2,-1]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:
区间
中点
中点函数值
[-2,-1]
-1.5
1.625
[-2,-1.5]
-1.75
-0.359 4
[-1.75,-1.5]
-1.625
0.709 0
[-1.75,-1.625]
-1.687 5
0.194 6
[-1.75,-1.687 5]
由于区间[-1.75,-1.687 5]长度=-1.687 5-(-1.75)=0.062 5<0.1,故其两个端点值均可作为相应函数的零点的近似值,取其近似值为-1.7,故原方程的根为-1.7.
8.方程x5+x-3=0在区间(1,2)上,有多少个实数解?你能证明自己的结论吗?如果方程有解,请求出它的近似解(精确到0.1).
【解析】 考察函数f(x)=x5+x-3,
∵f(1)=-1<0,f(2)=31>0,
∴函数f(x)=x5+x-3在区间(1,2)有一个零点x0.
∵函数f(x)=x5+x-3在(-∞,+∞)上是增函数(证明略),
∴方程x5+x-3=0在区间(1,2)内有唯一的实数解.
取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器算得f(1.5)≈6.09>0,∴x0∈(1,1.5).
同理,可得x0∈(1,1.25),x0∈(1.125,1.25),x0∈(1.125,1.187 5),x0∈(1.125,1.156 25),x0∈(1.125,1.140 625).
由于|1.140 625-1.125|<0.1,此时区间(1.125,1.140 625)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.1,
∴方程x5+x-3=0的一个精确到0.1的近似解为1.1.
9.(10分)在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻),现在只有一台天平,请问:你最多称几次就可以发现这枚假币?
【解析】 第一次各13枚称重,选出较轻一端的13枚,继续称;第二次两端各6枚,假设平衡,那么剩下的一枚为假币,否那么选出较轻的6枚继续称;
第三次两端各3枚,选出较轻的3枚继续称;
第四次两端各1枚,假设不平衡,可找出假币;假设平衡,那么剩余的是假币.
∴最多称四次.
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