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课时素养评价 二十五
空间点、直线、平面之间的位置关系
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是 ( )
【解析】选C.A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交.
2.下列说法中，正确的个数是 ( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；
②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；
③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.易知①正确，②正确.③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误.
3.(多选题)以下四个命题中，不正确的是 ( )
A.在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B.在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行
D.平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行
【解析】选A、B.当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以A，B错误.
4.如果两个平面内各有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.既不平行也不相交
【解析】选C.如果两平面的直线互相平行，可以有以下两种情况：
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.若三个平面两两相交，则它们交线的条数为________.
【解析】若三个平面两两相交，有可能交于一条直线，也有可能出现3条不同的交线.
答案：1或3
6.下列命题不正确的是________.(填序号)
①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；
②如果两条直线和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；
③直线a与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面.
【解析】命题①②中的两条直线可以相交，也可以异面，还可以平行，对于命题③，异面直线不具有传递性.
答案：①②③
三、解答题(共26分)
7.(12分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：
(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由.
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.
【解析】(1)不是异面直线.理由：
因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，
所以MN∥A1C1.
又A1AD1D，而D1DC1C，所以A1AC1C.
所以四边形A1ACC1为平行四边形.
所以A1C1∥AC，得到MN∥AC.所以A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线.
(2)是异面直线.证明如下：
假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，
则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC⊂平面CC1D1.
而BC⊥平面CC1D1，BC⊄平面CC1D1，
所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.
8.(14分)如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.
(1)画出l的位置.
(2)设l∩A1B1=P，求PB1的长.
【解析】(1)如图所示，连接DM并延长交D1A1的延长线于点Q，连接QN，直线QN即为直线l.
(2)QN∩A1B1=P，由已知得△MA1Q≌△MAD，
所以A1Q=AD=a=A1D1，所以A1是QD1的中点.
又A1P∥D1N，所以A1P=D1N=C1D1=
a，所以PB1=A1B1-A1P=a-a=a.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知直线a在平面α外，则 ( )
A.a∥α
B.直线a与平面α至少有一个公共点
C.a∩α=A
D.直线a与平面α至多有一个公共点
【解析】选D.直线a在平面α外，则直线a与平面α平行或相交，故直线a与平面α至多有一个公共点.
2.(4分)分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是
( )
A.一定平行 B.一定相交
C.一定异面 D.相交或异面
【解析】选D.可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).
3.(4分)互不重合的三个平面最多可以把空间分成________个部分.
【解析】互不重合的三个平面将空间分成五种情形：当三个平面互相平行时，将空间分成四部分；当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分；当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分；当三个平面相交于三条直线时，且三条交线交于同一点时，将空间分成八个部分；当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分.即不重合的三个平面可以将空间分成四部分或六部分或七部分或八部分.所以最多将空间分成8部分.
答案：8
4.(4分)如图所示，在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对.
【解析】根据异面直线的定义观察图形，可知有三对异面直线，分别是PB与AC，PA与BC，PC与AB.
答案：三
5.(14分)如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A，C1C的中点.
求证：四边形B1EDF是平行四边形.
【证明】设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.
因为E是AA1的中点，所以EQA1D1.
又因为在矩形A1B1C1D1中，
A1D1B1C1，所以EQB1C1(平行公理).
所以四边形EQC1B1为平行四边形.
所以B1EC1Q.
又因为Q，F是DD1，C1C两边的中点，
所以QDC1F.
所以四边形QDFC1为平行四边形.
所以C1QDF.又因为B1EC1Q，
所以B1EDF.
所以四边形B1EDF为平行四边形.
1.两条相交直线a，b都在平面α内且都不在平面β内，且平面α与β相交，则a和b ( )
A.一定与平面β都相交
B.至少一条与平面β相交
C.至多一条与平面β相交
D.可能与平面β都不相交
【解析】选B.设α∩β=c，若直线a，b都不与β相交，则a∥c，b∥c，
所以a∥b，这与直线a，b相交矛盾，故直线a，b中至少一条与β相交.
2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM=AN=1.
(1)证明：M，N，C，D1四点共面.
(2)平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比.
【解析】(1)连接A1B，
在四边形A1BCD1中，A1D1∥BC且A1D1=BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C，
在△ABA1中，AM=AN=1，AA1=AB=3，
所以=，所以MN∥A1B，
所以MN∥D1C，所以M，N，C，D1四点共面.
(2)记平面MNCD1将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，连接D1A，D1N，DN，则几何体D1-AMN，D1-ADN，D1-CDN均为三棱锥，
所以V1=++
=S△AMN·D1A1+S△ADN·D1D+S△CDN·D1D
=××3+××3+××3=.
从而V2=-V1=27-=，所以=，所以平面MNCD1分此正方体的两部分体积的比为或.
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