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课时跟踪练(六十八)
A组 基础巩固
1．已知n≥2，求证： >－.
证明：要证 >－，
只需证明 >，
也就是证 >，只需证＋>，
只需证>0，只需证n>1，
因为n≥2>1，所以 >－.
2．设函数f(x)＝x＋－1(x>0)的最小值为M，正数a，b满足＋＝Mab.
(1)求M的值；
(2)是否存在正数a，b，使得a6＋b6＝ ？并说明理由．
解：(1)f(x)＝x＋－1≥2－1＝3(当且仅当x＝2时，取等号)．
所以f(x)的最小值M＝3.
(2)不存在，理由如下：
假设存在正数a，b，使得a6＋b6＝，
则a6＋b6＝≥2＝2a3b3，
所以ab≤.
因为＋＝Mab＝3ab≥2，
所以ab≥，与ab≤矛盾，所以不存在a，b满足题意．
3．设a，b为正实数，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
解：(1)由2＝＋≥2得ab≥，
当且仅当a＝b＝时取等号．
故a2＋b2≥2ab≥1，当且仅当a＝b＝时取等号．
所以a2＋b2的最小值是1.
(2)由＋＝2可得a＋b＝2ab，
因为(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝8a2b2－4ab≥4(ab)3，
所以(ab)2－2ab＋1≤0，即(ab－1)2≤0，
所以ab－1＝0，即ab＝1.
4．(2019·广东中山模拟)已知函数f(x)＝x＋1＋|3－x|，x≥－1.
(1)求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2nab＝a＋2b，求证：2a＋b≥.
(1)解：根据题意，
若f(x)≤6，则有或
解得－1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|－1≤x≤4}．
(2)证明：函数f(x)＝x＋1＋|3－x|＝
分析可得f(x)的最小值为4，即n＝4，
则正数a，b满足8ab＝a＋2b，即＋＝8，
所以2a＋b＝(2a＋b)＝
≥＝，
原不等式得证．
5．已知函数f(x)＝|x－1|.
(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；
(2)若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f.
(1)解：f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝
当x<－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；
当－3≤x≤1时，4≥8不成立；
当x>1时，由2x＋2≥8，解得x≥3.
所以，不等式f(x)＋f(x＋4)≥8的解集为{x|x≤－5或x≥3}．
(2)证明：要证f(ab)>|a|f，即证|ab－1|>|a－b|.
因为|a|<1，|b|<1，
所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2＋b2－2ab)＝a2b2－(a2＋b2)＋1＝(a2－1)(b2－1)>0.
所以|ab－1|>|a－b|，
故原不等式f(ab)>|a|f成立．
B组 素养提升
6．(2019·晋中模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|.
(1)若∃x0∈R，使不等式f(x0－2)－f(x0－3)≥u成立，求满足条件的实数u的集合M；
(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a>1，b>1，c>1，且(a－1)(b－1)(c－1)＝t，求证：abc≥8.
(1)解：由已知f(x－2)－f(x－3)＝|x－1|－|x－2|
＝则－1≤|x－1|－|x－2|≤1，
由于∃x0∈R，使不等式|x0－1|－|x0－2|≥u成立，
所以u≤1，即M＝{u|u≤1}．
(2)证明：由(1)知t＝1，则(a－1)(b－1)(c－1)＝1，
因为a>1，b>1，c>1，所以a－1>0，b－1>0，c－1>0，
则a＝(a－1)＋1≥2>0(当且仅当a＝2时等号成立)，
b＝(b－1)＋1≥2>0(当且仅当b＝2时等号成立)，
c＝(c－1)＋1≥2>0(当且仅当c＝2时等号成立)，
则abc≥8＝8(当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立)．
7．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)若ab>cd，则＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
证明：(1)因为a，b，c，d为正数，且a＋b＝c＋d，
欲证＋＞＋，只需证明(＋)2＞(＋)2，
也就是证明a＋b＋2＞c＋d＋2，
只需证明＞，即证ab＞cd.
由于ab＞cd，因此＋＞＋.
(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，
所以(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.
又a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.
由(1)得＋>＋.
②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，
所以a＋b＋2>c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|<|c－d|.
综上，＋> ＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
8．(2019·百发联盟TOP20联考)已知函数f(x)＝|2x－3|＋|2x－1|的最小值为M.
(1)若m，n∈[－M，M]，求证：2|m＋n|≤|4＋mn|；
(2)若a，b∈(0，＋∞)，a＋2b＝M，求＋的最小值．
(1)证明：因为f(x)＝|2x－3|＋|2x－1|≥|2x－3－(2x－1)|＝2，所以M＝2.
要证明2|m＋n|≤|4＋mn|，只需证明4(m＋n)2≤(4＋mn)2，
因为4(m＋n)2－(4＋mn)2＝4(m2＋2mn＋n2)－(16＋8mn＋m2n2)＝(m2－4)(4－n2)，
因为m，n∈[－2，2]，所以m2，n2∈[0，4]，
所以(m2－4)(4－n2)≤0，
所以4(m＋n)2－(4＋mn)2≤0，
所以4(m＋n)2≤(4＋mn)2，
所以2|m＋n|≤|4＋mn|.
(2)解：由(1)得，a＋2b＝2，
因为a，b∈(0，＋∞)，
所以＋＝(a＋2b)
＝≥＝4，
当且仅当a＝1，b＝时，等号成立．
所以＋的最小值为4.
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