2022届高考数学总复习课时跟踪练六十八不等式证明的基本方法文含解析新人教A版.doc

课时跟踪练(六十八)
A组　基础巩固
1．已知n≥2，求证： >－.
证明：要证 >－，
只需证明 >，
也就是证 >，只需证＋>，
只需证>0，只需证n>1，
因为n≥2>1，所以 >－.
2．设函数f(x)＝x＋－1(x>0)的最小值为M，正数a，b满足＋＝Mab.
(1)求M的值；
(2)是否存在正数a，b，使得a6＋b6＝ ？并说明理由．
解：(1)f(x)＝x＋－1≥2－1＝3(当且仅当x＝2时，取等号)．
所以f(x)的最小值M＝3.
(2)不存在，理由如下：
假设存在正数a，b，使得a6＋b6＝，
则a6＋b6＝≥2＝2a3b3，
所以ab≤.
因为＋＝Mab＝3ab≥2，
所以ab≥，与ab≤矛盾，所以不存在a，b满足题意．
3．设a，b为正实数，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
解：(1)由2＝＋≥2得ab≥，
当且仅当a＝b＝时取等号．
故a2＋b2≥2ab≥1，当且仅当a＝b＝时取等号．
所以a2＋b2的最小值是1.
(2)由＋＝2可得a＋b＝2ab，
因为(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝8a2b2－4ab≥4(ab)3，
所以(ab)2－2ab＋1≤0，即(ab－1)2≤0，
所以ab－1＝0，即ab＝1.
4．(2019·广东中山模拟)已知函数f(x)＝x＋1＋|3－x|，x≥－1.
(1)求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2nab＝a＋2b，求证：2a＋b≥.
(1)解：根据题意，
若f(x)≤6，则有或
解得－1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|－1≤x≤4}．
(2)证明：函数f(x)＝x＋1＋|3－x|＝
分析可得f(x)的最小值为4，即n＝4，
则正数a，b满足8ab＝a＋2b，即＋＝8，
所以2a＋b＝(2a＋b)＝
≥＝，
原不等式得证．
5．已知函数f(x)＝|x－1|.
(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；
(2)若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f.
(1)解：f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝
当x<－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；
当－3≤x≤1时，4≥8不成立；
当x>1时，由2x＋2≥8，解得x≥3.
所以，不等式f(x)＋f(x＋4)≥8的解集为{x|x≤－5或x≥3}．
(2)证明：要证f(ab)>|a|f，即证|ab－1|>|a－b|.
因为|a|<1，|b|<1，
所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2＋b2－2ab)＝a2b2－(a2＋b2)＋1＝(a2－1)(b2－1)>0.
所以|ab－1|>|a－b|
故原不等式f(ab)>|a|f成立．
B组　素养提升
6．(2019·晋中模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|.
(1)若∃x0∈R，使不等式f(x0－2)－f(x0－3)≥u成立，求满足条件的实数u的集合M；
(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a>1，b>1，c>1，且(a－1)(b－1)(c－1)＝t，求证：abc≥8.
(1)解：由已知f(x－2)－f(x－3)＝|x－1|－|x－2|
＝则－1≤|x－1|－|x－2|≤1，
由于∃x0∈R，使不等式|x0－1|－|x0－2|≥u成立，
所以u≤1，即M＝{u|u≤1}．
(2)证明：由(1)知t＝1，则(a－1)(b－1)(c－1)＝1，
因为a>1，b>1，c>1，所以a－1>0，b－1>0，c－1>0，
则a＝(a－1)＋1≥2>0(当且仅当a＝2时等号成立)，
b＝(b－1)＋1≥2>0(当且仅当b＝2时等号成立)，
c＝(c－1)＋1≥2>0(当且仅当c＝2时等号成立)，
则abc≥8＝8(当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立)．
7．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)若ab>cd，则＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
证明：(1)因为a，b，c，d为正数，且a＋b＝c＋d，
欲证＋＞＋，只需证明(＋)2＞(＋)2，
也就是证明a＋b＋2＞c＋d＋2，
只需证明＞，即证ab＞cd.
由于ab＞cd，因此＋＞＋.
(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，
所以(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.
又a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.
由(1)得＋>＋.
②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，
所以a＋b＋2>c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|<|c－d|.
综上，＋> ＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
8．(2019·百发联盟TOP20联考)已知函数fx)＝|2x－3|＋|2x－1|的最小值为M.
(1)若m，n∈[－M，M]，求证：2|m＋n|≤|4＋mn|；
(2)若a，b∈(0，＋∞)，a＋2b＝M，求＋的最小值．
(1)证明：因为f(x)＝|2x－3|＋|2x－1|≥|2x－3－(2x－1)|＝2，所以M＝2.
要证明2|m＋n|≤|4＋mn|，只需证明4(m＋n)2≤(4＋mn)2，
因为4(m＋n)2－(4＋mn)2＝4(m2＋2mn＋n2)－(16＋8mn＋m2n2)＝(m2－4)(4－n2)，
因为m，n∈[－2，2]，所以m2，n2∈[0，4]，
所以(m2－4)(4－n2)≤0，
所以4(m＋n)2－(4＋mn)2≤0，
所以4(m＋n)2≤(4＋mn)2，
所以2|m＋n|≤|4＋mn|.
(2)解：由(1)得，a＋2b＝2，
因为a，b∈(0，＋∞)，
所以＋＝(a＋2b)
＝≥＝4，
当且仅当a＝1，b＝时，等号成立．
所以＋的最小值为4.