2022高考数学一轮复习课时作业57数系的扩充与复数的引入文.doc

课时作业57　数系的扩充与复数的引入
[基础达标]
一、选择题
1．[2020·南昌市调研]已知复数z满足(1＋i)z＝2，则复数z的虚部为(　　)
A．1　　B．－1
C．i D．－i
解析：由(1＋i)z＝2知z＝＝＝1－i，故z的虚部为－1.
答案：B
2．[2020·重庆九校联考]若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　)
A．E B．F
C．G D．H
解析：由图知复数z＝3＋i，则＝＝＝2－i，所以复数所对应的点是H，故选D.
答案：D
3．[2020·河南郑州一测]若复数z满足(3＋4i)z＝25i，其中i为虚数单位，则z的虚部是(　　)
A．3i B．－3i
C．3 D．－3
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(3b＋4a)i，由复数相等的充要条件得到3a－4b＝0,3b＋4a＝25，解得b＝3，故选C.
答案：C
4．[2019·贵州37校联考]复数z＝的共轭复数是(　　)
A．1＋i B．1－i
C．i D．－i
解析：因为z＝＝i，故z的共轭复数＝－i，故选D.
答案：D
5．[2020·湖南株洲质检]已知复数z满足(1－i)z＝|2i|，i为虚数单位，则z等于(　　)
A．1－i B．1＋i
C.－i D.＋i
解析：由(1－i)z＝|2i|，可得z＝＝＝1＋i，故选B.
答案：B
6．[2019·重庆外国语学校摸底]当<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：复数z在复平面内对应的点的坐标为(3m－2，m－1)，因为<m<1，所以所以点在第四象限，故选D.
答案：D
7．[2020·四川乐山调研]若(a，b∈R)与(1－i)2互为共轭复数，则a－b的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－3 D．3
解析：∵＝＝b－ai，(1－i)2＝－2i.又与(1－i)2互为共轭复数，∴b＝0，a＝－2，则a－b＝－2，故选A.
答案：A
8．[2019·广东汕头金山中学期中]设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，若z1＝，则z1＋z2等于(　　)
A．4i B．－4i
C．2 D．－2
解析：z1＝＝＝＝－1＋2i，∵复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，∴z2＝－1－2i，则z1＋z2＝－2，故选D.
答案：D
9．[2019·江西吉安模拟]已知复数z满足z＋＝4(i为虚数单位)，其中是z的共轭复数，|z|＝2，则复数z的虚部为(　　)
A．±2 B．±2i
C．2 D．2i
解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，则z的共轭复数是＝a－bi.由z＋＝4得a＝2，又|z|＝2，∴4＋b2＝8，∴b＝±2.故选A.
答案：A
10．[2019·黑龙江哈尔滨六中期末]已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，则“a＝1”是“点M在第四象限”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：∵复数z＝(a－2i)(1＋i)＝a＋2＋(a－2)i，∴z在复平面内对应的点M的坐标是(a＋2，a－2)．若点M在第四象限，则a＋2>0，a－2<0，∴－2<a<2，∴“a＝1”是“点M在第四象限”的充分而不必要条件，故选A.
答案：A
二、填空题
11．[2020·重庆学业质量抽测]已知复数z1＝1＋2i，z1＋z2＝2＋i，则z1·z2＝________.
解析：由已知条件得z2＝2＋i－z1＝2＋i－(1＋2i)＝1－i，所以z1·z2＝(1＋2i)(1－i)＝3＋i.
答案：3＋i
12．[2020·福建检测]已知复数z满足(3＋4i)＝4＋3i，则|z|＝________.
解析：解法一　因为＝＝＝－i，所以z＝＋i，所以|z|＝1.
解法二　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，所以(x－yi)(3＋4i)＝4＋3i,3x＋4y＋(4x－3y)i＝4＋3i，所以解得所以|z|＝1.
解法三　由(3＋4i)＝4＋3i，得|(3＋4i)|＝|4＋3i|，即5||＝5，所以|z|＝1.
答案：1
13．[2019·江苏徐州模拟]已知＝n＋i(m，n∈R)，其中i为虚数单位，则m＋n＝________.
解析：因为＝n＋i，所以3－mi＝n＋i，所以m＝－1，n＝3，所以m＋n＝2.
答案：2
14．[2020·福建厦门三中检测]已知m∈R，p：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆；q：在复平面内，复数z＝1＋(m－3)i对应的点在第四象限，若p∧q为真命题，则m的取值范围是________．
解析：p：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m>2.q：在复平面内，复数z＝1＋(m－3)i对应的点在第四象限，则m<3，若p∧q为真命题，则2<m<3.
答案：(2,3)
[能力挑战]
15．[2019·广东汕头金山中学期末]定义运算：＝ad－bc.若复数z满足＝－2，则＝(　　)
A．1－i B．1＋i
C．－1＋i D．－1－i
解析：由题意得iz＋z＝－2，所以z＝＝＝－1＋i，所以＝－1－i，故选D.
答案：D
16．[2019·安徽六安一模]若(1＋i)2＋|2i|＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则直线y＝x＋1的斜率为(　　)
A．－1 B．1
C. D.
解析：原式可化简为2＋2i＝a＋bi，得a＝2，b＝2，所以直线y＝x＋1的斜率k＝＝1，故选B.
答案：B
17．[2019·全国卷Ⅰ]设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
解析：通解　∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
优解一　∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
优解二　在复平面内，点(1,1)所对应的复数z＝1＋i满足|z－i|＝1，但点(1,1)不在选项A，D的圆上，∴排除A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数z＝2i满足|z－i|＝1，但点(0,2)不在选项B的圆上，∴排除B.故选C.
答案：C