2023版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.6双曲线练习苏教版.doc

9.6 双曲线考点一双曲线的定义及标准方程1.定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,那么点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.圆2.圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,那么动圆圆心M的轨迹方程为()A.x2-=1B.-y2=1C.x2-=1(x-1)D.x2-=1(x1)3.(2023长春模拟) 双曲线C的渐近线方程为y=x,一个焦点为F(0,-),点A(,0),点P为双曲线第一象限内的点,那么当点P的位置变化时,PAF周长的最小值为()A.8B.10C.4+3D.3+34.(2023唐山模拟)P是双曲线-=1(a0,b0)右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,那么PF1F2的内切圆圆心的横坐标是_.5.假设双曲线的渐近线方程为y=x,且经过点(4,),那么双曲线的方程为_.【解析】1.选B.如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,又O为F1F2的中点,所以|MF2|=2.因为点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,所以|PF2|-|PF1|=|PF2|-|PM|=|MF2|=2|F1F2|,所以由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.2.选C.设圆M的半径为r,由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,得|MC1|=1+r,|MC2|=3+r,|MC2|-|MC1|=26,所以点M的轨迹是以点C1(-3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支,且2a=2,a=1,又c=3,那么b2=c2-a2=8,所以点M的轨迹方程为x2-=1(x-1).3.选B.由得双曲线方程为-=1,设双曲线的另一个焦点为F,那么|PF|=|PF|+4,PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF|+4+|PA|+3,当F,P,A三点共线时,|PF|+|PA|有最小值,为|AF|=3,故PAF的周长的最小值为10.4.(利用定义解三角形)如下图,内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|,|MB|,|MC|,切点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质有|CF1|= |AF1|,|AF2|= |BF2|,|PC|=|PB|,所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,又|AF1|+|AF2|=2c,所以|AF1|=a+c,|OA|=|AF1|-|OF1|=a.因为M的横坐标和A的横坐标相同,所以M的横坐标为a.答案:a5.方法一:因为双曲线的渐近线方程为y=x,所以可设双曲线的方程为x2-4y2=(0).因为双曲线过点(4,),所以=16-4()2=4,所以双曲线的标准方程为-y2=1.方法二:因为渐近线y=x过点(4,2),而0,b0).由条件可得 解得 所以双曲线的标准方程为-y2=1.答案:-y2=11.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程.在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线还是双曲线的一支,假设是双曲线的一支,那么需确定是哪一支.(2)在“焦点三角形中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|-|PF2|=2a,运用平方的方法,建立|PF1|与|PF2|的关系.2.求双曲线标准方程的方法(1)定义法根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有:c2=a2+b2;双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.(2)待定系数法一般步骤常用设法()与双曲线-=1共渐近线的方程可设为-=(0);()假设双曲线的渐近线方程为y=x,那么双曲线的方程可设为-=(0);()假设双曲线过两个点,那么双曲线的方程可设为+=1(mn0)或mx2+ny2=1(mn0,b0)的离心率为,其渐近线与圆(x-a)2+y2=a2的位置关系是_.2.椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.(1)求双曲线C2的方程.(2)假设直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且2(其中O为原点),求k的取值范围.【解题导思】序号联想解题1一看到直线与圆的位置关系问题,即联想到利用弦心距与半径的大小关系判别;出现双曲线离心率为时,一定为等轴双曲线,渐近线方程为y=x2当题目中出现数量积时,首选方法是联立方程,利用根与系数的关系表示数量积,进而可求出参数范围【解析】1.因为一条渐近线方程为ay-bx=0,又离心率为=,所以a=b,所以一条渐近线方程为y-x=0,由(x-a)2+y2=a2知圆心为(a,0),半径为a,圆心到直线的距离d=aa,所以直线与圆相离.答案:相离2.(1)设双曲线C2的方程为-=1(a0,b0),那么a2=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1.故C2的方程为-y2=1.(2)将y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得 所以k2且k22,得x1x2+y1y22,所以2,即0,解得k23.由得k21,故k的取值范围为.直线与双曲线位置关系的解决策略(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于0时,用判别式来判定.(2)用“点差法可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验.(3)弦长公式:设直线与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为k,那么|AB|=|x1-x2|.1.过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,那么满足|AB|=6的直线l共有_条.【解析】当直线l的倾斜角为90时,|AB|=6;当直线l的倾斜角为0时,|AB|=20,b0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程.(2)直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t(O为坐标原点),求t的值及点D的坐标.【解析】(1)由题意知a=2,因为一条渐近线为y=x,即bx-ay=0,所以由焦点到渐近线的距离为,得=.又因为c2=a2+b2,所以b2=3,所以双曲线的方程为-=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0)(x00),那么x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程y=x-2代入双曲线方程-=1得x2-16x+84=0,那么x1+x2=16,y1+y2=(x1+x2)-4=12.所以解得所以t=4,点D的坐标为(4,3).考点三双曲线的几何性质命题精解读考什么:(1)考查双曲线的离心率、最值问题、范围问题、渐近线问题.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合、分类讨论及化归与转化等思想方法.怎么考:结合双曲线定义及焦点三角形等考查离心率及渐近线方程.新趋势:双曲线的离心率及渐近线仍是考查的重点.学霸好方法1.离心率的求解借助条件建立a,b,c之间的关系或利用特殊值法求解.2.渐近线的求解将标准形式中右侧常数变为0,整理即得.(牢记焦点到渐近线的距离)3.交汇问题 与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域.双曲线的离心率【典例】(2023全国卷)设F为双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.假设|PQ|=|OF|,那么C的离心率为()A.B.C.2D.【解析】选A.以OF为直径的圆的方程为+y2=,那么弦PQ所在的直线方程为x=,|PQ|=,根据|PQ|=|OF|可得=,即(a-b)2=0,得a=b,故c=a,所以e=.如何求双曲线离心率值或范围?提示:(1)求a,b,c的值,由e2=1+直接求e.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.(3)通过特殊位置,求出离心率.双曲线的渐近线 【典例】(2023德州模拟)椭圆+=1(ab0)与双曲线-=(a0,b0)的焦点相同,那么双曲线渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x【解析】选A.依题意椭圆+=1(ab0)与双曲线-=(a0,b0)即-=1(a0,b0)的焦点相同,可得:a2-b2=a2+b2,即a2=3b2,所以=,可得=,所以双曲线的渐近线方程为y=x=x.如何求双曲线的渐近线方程?提示:(1)求双曲线中的a,b的值,进而得出双曲线的渐近线方程.(2)求a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.(3)令双曲线标准方程右侧为0,将所得代数式化为一次式即为渐近线方程.与双曲线有关的范围问题 【典例】1.点F1,F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点.假设ABF2是锐角三角形,那么该椭圆的离心率e的取值范围是()A.(0,-1)B.(-1,1)C.(0,-1)D.(-1,1)2.直线y=kx-1和双曲线x2-y2=1的右支交于不同两点,那么k的取值范围是_.【解析】1.选B.由题意得F1(-c,0),F2(c,0),A,B.因为ABF2是锐角三角形,所以AF2F145,所以tanAF2F11,即1.整理,得b22ac,所以a2-c20,解得e-1或e-1(舍去).又因为0e1,所以椭圆的离心率e的取值范围为(-1,1).2.由直线y=kx-1和双曲线x2-y2=1联立方程组,消去y得(1-k2)x2+2kx-2=0,因为该方程有两个不相等且都大于1的根,所以 解得1k0,b0)的离心率为,右焦点到一条渐近线的距离为,那么此双曲线的焦距等于()A.B.2C.3D.6【解析】选B.由题意得,焦点F(c,0)到渐近线bx+ay=0的距离d=b=,又=,c2=a2+b2,所以c=,所以该双曲线的焦距为2.2.(2023成都模拟)假设实数k满足0k9,那么曲线-=1与曲线-=1的()A.焦距相同B.实半轴长相等C.虚半轴长相等 D.离心率相等【解析】选A.由于0k0,即曲线-=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0).25-k0,即曲线-=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0),故两曲线的焦距相同.1.双曲线-=1(a0,b0)的顶点到渐近线的距离为,焦点到渐近线的距离为,那么该双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.由双曲线的对称性可得两个焦点,顶点到两条渐近线的距离相等,所以任意取一个焦点和顶点即可.因为双曲线的渐近线方程为y=x,所以=,即ab=c,=,即b=,又因为c2=a2+b2,所以解得a2=4,b2=5,即方程为-=1.2.双曲线-=1(a0,b0)的左焦点为F(-c,0),O为坐标原点,P,Q为双曲线的渐近线上的两点,假设四边形PFQO是面积为c2的菱形,那么该渐近线方程为()A.y=2xB.y=xC.y=4x D.y=x【解析】选A.如下图,F(-c,0),PQOF,设P(x,y),那么菱形PFQO的面积为2cy=c2,所以y=c,故tanPOF=2,即渐近线OP的方程为y=-2x,故双曲线的渐近线方程为y=2x.- 10 -