2022年山东省荷泽市中考数学试卷.docx

山东省荷泽市2022年中考数学试卷
一、选择题：本大题共8个小题，每题3分，共24分，在每题给出的四个选项A、B、C、D中只有一项为哪一项正确的，请把正确的选项选出来并填在第3页该题相应的答题栏内．
1．比-l大的数是
A. -3 B. - C. 0 D．一l
考点:有理数的加减法．
分析：可利用数轴进行思考比较.
解答：选C
点评：此题考查了有理数的大小比较，是根底题，熟记大小比较方
法是解题的关键
2．如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹锐角为25°,那么∠α的度数为
A．25° B．45° C. 35° D. 30°
考点:平行线的性质,等边三角形的性质．
分析：利用两直线平行同位角相等，内错角相等得到∠a+250=∠ACB，即可求出∠a的度数
解答：选C
点评：此题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，熟记性质是解题的关键，利用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观
3．以下计算中，正确的选项是
A.a3·a2=a6 B.〔π-3.14〕º=1 C. D.
考点:零指数幂；负指数幂；同底数幂的乘法；算术平方根
分析：在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据运算法那么求得计算结果
解答:A、a3•a2=a3+2=a5，故本选项错误；B、〔π-3.14〕0=1，故本选项正确；
C、，故本选项错误； D、，故本选项错误．
应选B
点评：此题考查了负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，同底数幂的乘法，零指数幂的定义以及算术平方根的定义，是根底题
4. 2014年4月21日8时我市区县的可吸入颗粒物数值统计如下表
区县
曹县
单县
成武
定陶
巨野
东明
郓城
鄄城
牡丹区
开发区
可吸入颗粒物
〔mg/m3〕
0.15
0.15
0.15
0.15
0.18
0.18
0.13
0.16
0.14
0.14
该日这一时刻的可吸入颗粒物数值的众数和中位数分别是
A．0.15和0.14 B．0.18和0.15 C．0.18和0.14 D．0.15和0.15
考点: 众数；中位数．
分析：在这一组数据中0.15是出现次数最多的，故众数是0.15；在这10个数中，按大小排列处于中间位置的第5、6两个数都是0.15，所以中位数是0.15．
解答:选D
点评：此题考查对众数和中位数的定义的掌握情况．记住定义是解决此类题目的关键.
5．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其展开图正确的为
考点: 几何体的展开图；截一个几何体．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．
分析：由平面图形的折叠及立体图形的外表展开图的特点解题．
解答：选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合．应选B．
点评：考查了截一个几何体和几何体的展开图．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．
6．关于x的一元二次方程x2+ax+b =O有一个非零根-b，那么a-b的值为
A．1 B．-1 C．0 D．一2
考点:一元二次方程的解；分解因式．
分析：将x=-b代入到x2+ax+b=0中，利用分解因式可求得a-b的值．
解答: ∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b，∴b2-ab+b=0，
∵-b≠0， ∴b≠0，方程两边同时除以b，得b-a+1=0，∴a-b=1．
应选A．
点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把方程的根直接代入方程进而解决问题．
7．假设点M(x，y)满足(x+y)2 =x2 +y2 -2，那么点M所在象限是
A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限 D．不能确定
考点：各象限内点的坐标的符号特征；完全平方公式．
分析：利用完全平方公式展开并整理得到xy=-1，从而判断出x、y异号，再根据各象限内点的坐标特征解答．记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键.
解答：∵〔x+y〕2=x2+2xy+y2，∴2xy=-2，xy=-1，
∴x、y异号，∴点M〔x，y〕在第二、四象限．应选B．
点评：此题考查了点的坐标，求出x、y异号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限〔+，+〕；第二象限〔-，+〕；第三象限〔-，-〕；第四象限〔+，-〕
8．如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长 度为x，△ABC与正方形CDEF重叠局部的面积为y，那么以下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是
考点：动点问题的函数图象．
分析：分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2-2〔x-1〕2，配方得到y=-〔x-2〕2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．
解答：当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，
CD=x，那么AD=2-x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2-x，∴EM=x-〔2-x〕=2x-2，
∴S△ENM=0.5，〔2x-2〕2=2〔x-1〕2，
∴y=x2-2〔x-1〕2=-x2+4x-2=-〔x-2〕2+2，
应选A．
点评：此题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等腰直角三角形的性质．
二、填空题：本大题共6个小题，每题3分，共18分，只要求填写最后结果，每题填对得3分．
9. 2022年“原创新春祝福微博大赛〞作品充满了对马年的浓浓祝福，主办方共收到原创祝福短信作品62800条，将62800用科学计数法表示应为_ __．
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：6.28×104
点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，那么的度数为
考点：圆的认识；等腰三角形的性质；直角三角形的性质．
分析：根据直角三角形两锐角和是90°，可以求出∠A的度数，在△ACD中由三内角和为180°，可以求出∠ACD的度数，由∠ACB=90°，求出∠BCD，就可以得到答案。
解答：解：连接CD，∵∠ACB=90°，∠B=25°，∴∠A=65°．
在△ACD中，∵CD=CA，∴∠A=∠CDA=65°，∴∠ACD=180°-65°-65°=50°．
∴∠DCB=90°-50°=40°．故答案是：40°．
点评：此题考查了圆心角、弧之间的关系，用到的知识点是三角形内角和定理、圆心角与弧的关系，关键是做出辅助线求出∠BCD的度数．
11．分解因式：2x3-4x2+2x=______________________
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：先提取公因式2x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
解答：2x3-4x2+2x=2x〔x2-2x+1〕=2x〔x-1〕2．
故答案为：2x〔x-1〕2．
点评：此题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数(x≥o)与(x≥0)的图象于B、C两 点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，那么
考点：二次函数综合题
分析：设A点坐标为〔0，a〕，利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出BC的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．
解答：设A点坐标为〔0，a〕，〔a＞0〕，那么x2=a，解得x=
∴点B(，a), ,那么，∴点C()，∴BC=
∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为
∴y1=()2=3a ∴点D的坐标为〔,3a〕
∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a，
∴点E的坐标为(3,) ∴DE=
∴故答案是：
点评：此题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．
13．如下列图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B在第四象限，且AO: BO=
1： ，假设点A(x0，y0)的坐标(x0，y0)满足，那么点B(x，y)的坐标x，y所满足的关系式为
考点：相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
分析：设B点坐标满足的函数解析式是，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，易得△AOC∽△OBD，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得S△AOC：S△BOD=9，继而求得答案．
解答：设B点坐标满足的函数解析式是，
过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，
∴∠ACO=∠BDO=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠BOD=∠OAC，
∴△AOC∽△OBD，∴S△AOC：S△BOD=(AO:BO)2= (1：)2=1：2
∵S△AOC=OC×OA÷2=0.5 ∴S△BOD=1
S△BOD=0.5OD•BD=0.5|k|，∴k=-2，
∴设B点坐标满足的函数解析式是
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用
14．下面是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n〔n是整数，且n>3〕行从左向右数第n-2个数是
〔用含n的代数式表示〕
考点：规律型：数字的变化类；算术平方根．
分析：根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第〔n-1〕的最后一个数，然后被开方数加上〔n-2〕即可．
解答：∵第〔n-1〕的最后一个数是
∴第n〔n≥3且n是整数〕行从左向右数第n-2个数是 故答案为： .
点评：此题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键
三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
15．〔此题12分，每题6分〕
(1)计算：
考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；；负指数幂；算术平方根
分析：此题考查了实数的运算,先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算．也考查了a0=1〔a≠0〕、绝对值以及特殊角的三角函数值．
解答：原式==
(2)解不等式 ，并判断是否为该不等式组的解，
考点：解一元一次不等式组；估算无理数的大小．
分析：先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，判断出是否在此不等式组解集范围内即可．能根据解不等式组的法那么求出该不等式组的解集是解答此题的关键
解答：
由①得x>-3．
由②得x≤1．
∴原不等式组的解集是-3＜x≤l．
∵＞1， ∴x=不是该不等式组的解．
点评：此题考查了解简单不等式组的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解题时还应遵循以下原那么：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了。
16．〔此题12分，每题6分〕
(l)在△ABC中，AD平分∠BAC．BD⊥AD，垂足为D，过D作DE//AC，交AB于E，假设AB =5，求线段DE的长．
考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质
分析：求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，
推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质
求出即可．
解答：∵AD平分∠B4C, ∴∠l=∠2
∵ DE//AC ∴∠2 =∠ADE . ∴∠1 =∠ADE .∴AE=DE
∵AD⊥DB, ∴∠ADB = 90°
∴∠1 +∠ABD =90°, ∠ADE + ∠BDE = ∠ADB = 90°,
∴∠ABD = ∠BDE . ∴DE=BE
点评：此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE=BE=AE．
(2)x2-4x+l=O，求的值
考点：分式的化简求值,整体代入的思想.
分析：把分式进行通分相减后，把的式子写成x2-4x=-1的形式，代入求解即可
解答：
点评：化简求值是课程标准中所规定的一个根本内容，它涉及对运算的理解以及运算技能的掌握两个方面，也是一个常考的题材．为了降低计算的难度，杜绝繁琐的计算，此题代数式结构简单，化简后的结果简单，计算简单，把考查重点放在化简的规那么和方法上．
17．〔此题14分，每题7分〕
(1)食品平安是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需参加同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共1OO瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶
考点：一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用．
分析：根据题意设出未知数，再根据题目中“700克该添加剂恰好生产了A，B两种饮料共500瓶〞得出等量关系列出方程〔组〕，求出结果即可
解答：设A种饮料生产了x瓶，那么B种饮料生产了〔500-x〕瓶，
根据题意得出：x+2〔500-x〕=700，
解得：x=300， 所以500-300=200，
答：A种饮料生产了300瓶，那么B种饮料生产了200瓶．
点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，在解题时要能根据题意得出等量关系，列出方程是此题的关键．
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y =kx+b的图象经过点A(1，0)，与反比例函数(x>0)的图象相交于点B(2，1)．
①求m的值和一次函数的解析式；
②结合图象直接写出：当x>0时，不等式kx+b>的解集
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：〔1〕由题意得，AC=1，OC=2，得出A点坐标，再将点A代入即可得出m，将AB两点代入一次函数y=kx+b求出k、b，从而得出答案；
〔2〕一次函数在反比例函数图象的上方时，自变量x的取值范围即可．
解答：①反比例函数(x>O)的图象经过点B(2，1)，∴m=2．
∵一次函数y=kx+b的图象经过点A(l，O)、B(2，1)两点，
∴一次函数的解析式为y=x-l.
② x>2．
点评：此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合得出函数值大小关系是重点．
18．〔此题IO分〕
如图，AB是⊙O的直径，点C在0O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．
〔1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)假设，求cos∠ABC的值
考点：切线的判定；勾股定理．
分析：〔1〕如图，连接OC．欲证DE是⊙O的切线，只需证得OC⊥DE；
〔2〕由，可设CE=2k〔k＞0〕，那么DE=3k，在Rt△DAE中，由勾股定理求得k．那么tanE=
所以在Rt△OCE中，tanE=
在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD=
故cos∠ABC=cos∠AOD=
解答：(1)证明：如图，连接OC．
∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径，
∴AD⊥AB． ∴∠DAB=900．
∵OD//BC， ∴∠DOC= ∠OCB. ∠AOD=∠ABC.
∵ OC= OB． ∴∠OCB=∠ABG
∴∠DOC=∠AOD．
在△COD和△AOD中，
∴_△CDD≌△AOD． ∴∠OCD=∠DAB=900.
∵ OC⊥DE于点C． ∴OC是⊙O的半径，
∴DE是⊙O 的切线．
(2)解：由 ，可设CE=2k(k>O)，那么DE=3k， ∴AD=DC=k
在Rt△DAE中，AE==k 分
∵OD∥BC, ∴ BE =20B ∴0A=AE=k
∴ 在RRt△AOD中，OD=
∴cos∠ABC=cos∠AOD=
点评：此题考查了切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，此线过圆上某点，连接圆心与这点〔即为半径〕，再证垂直即可．
19．〔此题10分〕
课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班局部学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B:较好；C:-般；D:较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答以下问题：
(l)王老师一共调查了多少名同学
(2)C类女生有名，D类男生有名，并将上面条形统计图补充完整；
(3)为了共同进步，王老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一〞互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．
分析：〔1〕根据B类有6+4=10人，所占的比例是50%，据此即可求得总人数；
〔2〕利用〔1〕中求得的总人数乘以对应的比例即可求得C类的人数，然后求得C类
中女生人数，同理求得D类男生的人数；
〔3〕利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解．
解答：〔1〕一共调查的学生数是：〔1+2〕÷15%=20人；
C组人数为：20×25%=5〔人〕，
那么女生人数为5-3=2〔人〕，
D组人数为：20×〔1-15%-50%-25%〕=20×10%=2〔人〕，
那么男生人数为2-1=1〔人〕，
补全统计图如图；
故答案为：20．
〔2〕画树状图如图：
那么所有可能结果是：男男、男女、女男、女女、女男、女女，
即所选同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率P〔一男一女〕=
点评：此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．
20．〔此题lO分〕
：如图，正方形ABCD，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN =450，连结MN.
(1)假设正方形的边长为a，求BM·DN的值；
(2〕假设以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．
考点：正方形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定与性
质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

就可以得出△ABM∽△NDA，利用相似三角形的性质就可以
的得出BM•DN=a2．
〔2〕将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF，证明△ABF≌△ADN．利用边角的关系得出△BMF是直角三角形，由勾股定理就可以得出结论
解答：〔1〕∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BM，DN分别平分正方形的两个外角，

∵∠MAN=45°，∴∠BMA=∠NAD， ∴△ABM∽△NDA，
∴∴BM•DN=a2．
〔2〕以线段BM，DN和MN为三边围成的三角形是直角三角形．
证明：如图，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF．那么
△ABF≌△ADN．
∴∠1=∠3，AF=AN，BF=DN，∠AFB=∠AND．
∴∠MAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠MAN=45°．
∴∠MAF=∠MAN．
又∵AM=AM， ∴△AMF≌△AMN． ∴MF=MN．
可得∠MBF=〔∠AFB+∠1〕+45°=〔∠AND+∠3〕+45°=90°．
∴在Rt△BMF中，BM2+BF2=FM2．∴BM2+DN2=MN2
∴以线段BM，DN和MN为三边围成的三角形是直角三角形．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择
21．〔此题10分〕
在平面直角坐标系xOy，抛物线y=x2-2mx+m2-9．
(1)求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；
(2)该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与y轴的交点坐标为〔O，-5〕，求此抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，假设点M是线段AN上的任意一点，过点M作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MC上一点，且满足MP=MC，连结CD,PD，作PE⊥PD交x轴与点E,问是否存在这样的点E，使得PE=PD，假设存在，求出点E的坐标；假设不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
分析：(1)此题转化为关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-9=0根的判别式的符号问题，即△＞0时抛物线与x轴总有两个交点
(2〕直接将C点〔0，-5〕代入y=x2-2mx+m2-9根据抛物线与x轴交于A，B两点〔点A在点B的左侧，且OA＜OB〕，求出m的值即可；
(3〕假设E点存在由直角三角形的性质可以得出∠MEP=∠CPD．再根据条件可以得出△EPM≌△PDC就有PM=DC，EM=PC，设C〔x0，y0〕，那么D〔4-x0，y0〕，P(x0，y0)．根据PM=DC就有4-2x0＝−y0，由C点在抛物线上有4-2x0＝−(x02−4x0−5)，解方程求出x0的值就可以得出结论．
解答:(l)△=(-2m)2 -4(m2 -9) =4m2-4m2+36 =36 >0，所以无论m为何值，一元二次方程
x2 -2mx+m2-9 =0总有两个不相等的实数根；
(2)∵抛物线y=x2-2mx+m2-9与y轴交点坐标为〔0，-5〕，
∴-5=m2-9．解得m=t2.
∵抛物线y=x2-mx+m2-9与x轴交于A，B两点,
点A在点B的左侧，且0A<OB． ∴m=2．
∴抛物线的解析式为y =x2-4x-5．
(3)假设点E存在，
∵MC⊥EM，CD⊥MC，∴∠EMP= ∠PCD.
∵ PE⊥ PD．∴∠EPM=∠PDC.
∵PE= PD．∴△EPM≌△PDC. ∴PM=DC,EM=PD.
该抛物线y=x2-4x-5的对称轴x=2，N(2，O)，A〔一l，O〕，B(5，0)
设C(x0 ,y0)，那么D(4-x0，y0),P(x0, y0)．(其中-l<x0<2, y0=x02-4x0-5)
由CD= PM 得4 - 2xo=一y0．
即4 - 2x0=一( x02-4x0-5). 解得x0=1或x0=1l〔舍去〕
∴M(1，O)，C〔1，一8〕 ∴P〔1，一2〕． ∴PC =6．
∴ME= PC=6． ∴E(7，O)
∴点E存在其坐标为(7，O)．
点评：此题是一道二次函数的综合试题，考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时先运用待定系数法求出解析式是关键，解答中灵活运用直角三角形的性质是重点难点．