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核心素养测评十一 函数与方程
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)
【解析】选C.因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,则由题意得f(1)·f(2)=(0-a)(3-a)<0,解得0<a<3.
2.已知函数f(x)=-log3x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且x0<x1,则f(x1)的值 ( )
A.恒为负 B.等于零
C.恒为正 D.不大于零
【解析】选A.由于函数f(x)=-log3x在定义域内是减函数,于是,若f(x0)=0,当x0<x1时,一定有f(x1)<0.
3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f=g=f+x+a,若g存在2个零点,则a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.因为g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即y=f(x)与y=-x-a有两个交点,图像如下:
要使得y=-x-a与f(x)有两个交点,则有-a≤1即a≥-1.
4.(2020·福州模拟)已知f(x)=则方程f(f(x))=3的根的个数是 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【解析】选B.令f(x)=t,则方程f(f(x))=3即为f(t)=3,解得t=e-3或e3,作出函数f(x)的图像(图略),由图像可知方程f(x)=e-3有3个解,f(x)=e3有2个解,则方程f(f(x))=3有5个实根.
5.已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d.若f(x)=2 020-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是 世纪金榜导学号( )
A.a>c>b>d B.a>b>c>d
C.c>d>a>b D.c>a>b>d
【解析】选D.f(x)=2 020-(x-a)(x-b)=-x2+(a+b)x-ab+2 020,又f(a)=f(b)=
2 020,c,d为函数f(x)的零点,且a>b,c>d,所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图像,如图所示,由图可知c>a>b>d.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)=cos 在上的零点个数为________________.
【解析】令f(x)=cos=0,得3x+=+kπ(k∈Z),即x=+kπ,
当k=0时,x=∈[0,π],当k=1时,x=∈[0,π],当k=2时,x=∈[0,π],
所以f(x)=cos在[0,π]上零点的个数为3.
答案:3
7.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是________________.
【解析】函数g(x)=f(x)-m有3个零点,转化为f(x)-m=0的根有3个,进而转化为y=f(x),y=m的交点有3个.画出函数y=f(x)的图像,则直线y=m与其有3个公共点.又抛物线的顶点为(-1,1),由图可知实数m的取值范围是(0,1).
答案:(0,1)
8.设函数y=x3与y=的图像的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是________________. 世纪金榜导学号
【解析】设f(x)=x3-,则x0是函数f(x)的零点,在同一平面直角坐标系下作出函数y=x3与y=的图像如图所示.
因为f(1)=1-=-1<0,f(2)=8-=7>0,所以f(1)·f(2)<0,所以x0∈(1,2).
答案:(1,2)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.设函数f(x)=(x>0).
(1)作出函数f(x)的图像.
(2)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求+的值.
(3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根,求m的取值范围.
【解析】(1)如图所示.
(2)因为f(x)=
=
故f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数.
由0<a<b且f(a)=f(b),得0<a<1<b,
且-1=1-,所以+=2.
(3)由函数f(x)的图像可知,当0<m<1时,函数f(x)的图像与直线y=m有两个不同的交点,即方程f(x)=m有两个不相等的正根.
10.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a,
(1)判断命题:“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程.
(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点,求实数a的取值范围. 世纪金榜导学号
【解析】(1)“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必有实数根”是真命题.依题意,f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,因为Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实根,从而f(x)=1必有实根.
(2)依题意,要使y=f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点,
只需即
解得<a<.故实数a的取值范围为.
(15分钟 35分)
1.(5分)函数f(x)=(x+1)ln x-1的零点有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选B.由f(x)=(x+1)ln x-1=0,得ln x=,作出函数y=ln x,y=的图像如图,
由图像可知交点个数为1,即函数的零点个数为1.
2.(5分)(2019·郑州模拟)设m∈N,若函数f(x)=2x-m+10存在整数零点,则符合条件的m的取值个数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选C.令f(x)=0,得2x+10=m,则有-5≤x≤10,因为m∈N,x∈Z ,所以当m≠0 时,∈N,所以x可以取1,6,9,10,相对应m的值为4,11,28(其中x=10时m的值不存在),又当m=0,x=-5也符合,所以符合条件的m的值共有4个,选C.
3.(5分)(2020·黄冈模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=f(-x).当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则函数g(x)=(x-2)f(x)-1在区间[-3,6]上的所有零点之和为 ( )
世纪金榜导学号
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选D.由题意得,f(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期为4.
因为f(x+2)=f(-x),所以f(x)的图像关于x=1对称.
作出f(x)图像如图所示,函数g(x)=(x-2)f(x)-1的零点即为y=f(x)图像与y=图像的交点的横坐标,四个交点分别关于点(2,0)对称,则x1+x4=4,x2+x3=4,即零点之和为8,故选D.
【变式备选】
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=a|x-2|-a,其中a为常数,且a>0.若函数y=f(f(x))有10个零点,则实数a的取值范围是________________.
【解析】当x≥0时,令f(x)=0,得|x-2|=1,即x=1或x=3.因为f(x)是偶函数,则f(x)的零点为x=±1和x=±3,作出函数y=f(x)的大致图像如图所示.
令f(f(x))=0,则f(x)=±1或f(x)=±3.因为函数y=f(f(x))有10个零点,则函数y=f(x)的图像与直线y=±1和y=±3共有10个交点.由图可知,1<a<3.
答案:(1,3)
4.(10分)已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=
(1)求g(f(1))的值.
(2)若方程g(f(x))-a=0有4个不同的实数根,求实数a的取值范围. 世纪金榜导学号
【解析】(1)利用解析式直接求解得g(f(1))=g(-3)=-3+1=-2.
(2)令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在(-∞,1)上有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图像有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图像如图,
由图像可知,当1≤a<时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,即所求a的取值范围是.
5.(10分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).
(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围.
(2)确定m的取值范围,使得函数F(x)=g(x)-f(x)有两个不同的零点. 世纪金榜导学号
【解析】(1)因为g(x)=x+≥2=2e,
等号成立的条件是x=e,
故g(x)的值域为[2e,+∞),
因而只需m≥2e,则g(x)=m就有零点,
即m的取值范围为[2e,+∞).
(2)函数F(x)=g(x)-f(x)有两个不同的零点,
即g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,
即g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点,
作出g(x)=x+(x>0)的图像.
因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,
其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,
故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
1.(2019·济南模拟)已知函数f(x)=ex-e-x+4,若方程f(x)=kx+4(k>0)有三个不同的实根x1,x2,x3,则x1+x2+x3=________________.
【解析】f(x)=kx+4(k>0),即ex-e-x=kx,所以y1=ex-e-x与y2=kx有三个不同的交点,且都是奇函数.因此x1+x2+x3=0.
答案:0
2.(2020·嘉兴模拟)已知函数f(x)=|x-2k|,x∈[2k-1,2k+1](k∈Z),则函数g(x)=f(x)-lg x的零点个数是 世纪金榜导学号( )
A.5 B.7 C.9 D.11
【解析】选C.函数g(x)=f(x)-lg x的零点转化为y=lg x与y=f(x)的交点,给k赋值,作出函数y=f(x)及y=lg x的图像,从图像上看,共有9个交点,所以函数g(x)的零点共有9个,故选C.
【变式备选】
函数f(x)的定义域为实数集R,且f(x)=对任意的x∈R都有f(x+2)=f(x-2).若在区间[-5,3]上函数g(x)=f(x)-mx+m恰好有三个不同的零点,求实数m的取值范围.
【解析】因为对任意的x∈R都有f(x+2)=f(x-2),所以函数f(x)的周期为4.由在区间[-5,3]上函数g(x)=f(x)-mx+m有三个不同的零点,知函数f(x)与函数h(x)=mx-m的图像在[-5,3]上有三个不同的交点.在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与h(x)在区间[-5,3]上的图像,如图所示.
由图可知≤m<,即-≤m<-.
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