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核心素养测评八 对数与对数函数
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是 ( )
(参考数据:lg 3≈0.48)
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
【解析】选D.设=x=,两边取对数,lg x=lg=lg 3361-lg1080=361×lg 3-80≈93.28,所以x=1093.28,即与最接近的是1093.
2.(2020·上饶模拟)设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是 ( )
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
【解析】选C.由题意得
或
解得a>1或-1<a<0.
3.(2020·吕梁模拟)函数y=ln sin x(0<x<π)的大致图像是 ( )
【解析】选C.因为0<x<π,所以0<sin x≤1,
所以ln sin x≤0,排除选项A,B,D.
4.(2020·新乡模拟)若log2(log3a)=log3(log4b)=log4(log2c)=1,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.b>c>a
【解析】选D.由log2(log3a)=1,可得log3a=2,故a=32=9;由log3(log4b)=1,可得log4b=3,故b=43=64;由log4(log2c)=1,可得log2c=4,故c=24=16.所以b>c>a.
5.若函数y=a|x|(a>0且a≠1)的值域为{y|y≥1},则函数y=loga|x|的图像大致是
( )
【解析】选B.由于y=a|x|的值域为{y|y≥1},所以a>1,则y=loga|x|在(0,+∞)上是增函数,又函数y=loga|x|的图像关于y轴对称.因此y=loga|x|的图像应大致为选项B.
6.已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),则 ( )
A.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是增函数
B.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是增函数
C.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是减函数
D.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是减函数
【解析】选D.由得x∈(-10,10),且f(x)=lg(100-x2).所以f(x)是偶函数,
又t=100-x2在(0,10)上单调递减,y=lg t在(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)在(0,10)上单调递减.
7.(2020·宁德模拟)已知函数f(x)=lg(|x|+1),记a=f(50.2),b=f(log0.23),c=f(1),则a,b,c的大小关系为 世纪金榜导学号( )
A.b<c<a B.a<b<c
C.c<a<b D.c<b<a
【解析】选A.f(x)是偶函数,在[0,+∞)上单调递增,
所以b=f(log0.23)=f(-log0.23)=f.
因为50.2>50=1,0<log0.2<log0.20.2=1,
所以0<log0.2<1<50.2,
所以f<f(1)<f(50.2),
所以b<c<a.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.已知函数f(x)=,则f=____________.
【解析】f=log3 =-2,f=f(-2)=2-2=.
答案:
9.(2019·深圳模拟)函数f(x)=ln 的定义域为________________,值域为________________.
【解析】使f(x)有意义,则>0.
所以x>1或x<-1,所以定义域为{x|x>1或x<-1}.
又因为ln =ln =ln ,因为1+>0且1+≠1,
所以ln ≠0,
所以f(x)的值域为∪.
答案:{x|x>1或x<-1}
∪
【变式备选】
函数f(x)=的定义域为________________.
【解析】由题意得解得0<x≤,故函数f(x)的定义域为(0,].
答案:(0,]
10.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是________________.世纪金榜导学号
【解析】作出函数f(x)的大致图像如图.
由图像知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨设0<a<b<c,则-lg a=lg b=-c+6.所以lg a+lg b=0,所以ab=1,所以abc=c.由图知10<c<12,所以abc∈(10,12).
答案:(10,12)
(15分钟 35分)
1.(5分)(2020·长春模拟)已知x=ln π,y=log52,z=, 则 ( )
A.x<y<z B.z<x<y
C.z<y<x D.y<z<x
【解析】选D.ln π>ln e=1,即x>1,0=log51<log52<log55=1,即0<y<1,0<<<1,即0<z<1,
=====log5,因为e<4,所以<4,所以log5<log54<1,所以y<z.
综上所述:y<z<x,故选D.
2.(5分)(2020·威海模拟)已知函数f(x)=lnx+ln(a-x)的图像关于直线x=1对称,则函数f(x)的值域为 ( )
A.(0,2) B.[0,+∞)
C.(-∞,2] D.(-∞,0]
【解析】选D.因为函数f(x)=lnx+ln(a-x)的图像关于直线x=1对称,
所以f(1-x)=f(1+x),即ln(1-x)+ln(a-1+x)=ln(1+x)+ln(a-1-x),
所以(1-x)(a-1+x)=(1+x)(a-1-x),
整理得(a-2)x=0恒成立,
所以a=2,所以f(x)=lnx+ln(2-x),定义域为(0,2).
又f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(2x-x2),
因为0<x<2时,0<2x-x2≤1,
所以ln(2x-x2)≤0,所以函数f(x)的值域为(-∞,0].故选D.
3.(5分)(2020·蚌埠模拟)若函数f(x)=loga(x2-2x+a)(a>0,且a≠1)有最小值,则实数a的值等于________________.
【解析】令g(x)=x2-2x+a,则f(x)=loga[g(x)].
①若a>1,由于函数f(x)有最小值,
则g(x)应有最小值,
而g(x)=x2-2x+a=(x-)2+a-6,
当x=时,取最小值a-6,
因此有解得a=9.
②若0<a<1,由于函数f(x)有最小值,
则g(x)应有最大值,
而g(x)不存在最大值,不符合题意.综上,实数a=9.
答案:9
4.(10分)设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2. 世纪金榜导学号
(1)求a的值及f(x)的定义域.
(2)求f(x)在区间上的最大值.
【解析】(1)因为f(1)=2,所以loga4=2(a>0,a≠1),
所以a=2.由得-1<x<3,
所以函数f(x)的定义域为(-1,3).
(2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2[(1+x)(3-x)]=log2[-(x-1)2+4],所以当x∈(-1,1]时,f(x)是增函数;当x∈(1,3)时,f(x)是减函数,
故函数f(x)在上的最大值是f(1)=log24=2.
5.(10分)已知函数f(x)=loga(3-ax).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围.
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为a>0且a≠1,设t(x)=3-ax,
则t(x)=3-ax为减函数,
当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,
当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,
即当x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.
所以3-2a>0.所以a<.又a>0且a≠1,
所以a的取值范围是(0,1)∪.
(2)t(x)=3-ax,因为a>0,且a≠1,
所以函数t(x)为减函数.
因为f(x)在区间[1,2]上为减函数,
所以y=logat为增函数,
所以a>1,x∈[1,2]时,t(x)最小值为3-2a,
f(x)最大值为f(1)=loga(3-a),
所以即
故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.
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