1、核心素养测评八 对数与对数函数
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是 ( )
(参考数据:lg 3≈0.48)
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
【解析】选D.设=x=,两边取对数,lg x=lg=lg 3361-lg1080=361×lg 3-80≈93.28,所以x=1093.28,即与最接近的是1093.
2.(2020·上饶模拟)设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是 (
2、)
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
【解析】选C.由题意得
或
解得a>1或-1b>c B.b>a>c
C.a>c>b
3、D.b>c>a
【解析】选D.由log2(log3a)=1,可得log3a=2,故a=32=9;由log3(log4b)=1,可得log4b=3,故b=43=64;由log4(log2c)=1,可得log2c=4,故c=24=16.所以b>c>a.
5.若函数y=a|x|(a>0且a≠1)的值域为{y|y≥1},则函数y=loga|x|的图像大致是
( )
【解析】选B.由于y=a|x|的值域为{y|y≥1},所以a>1,则y=loga|x|在(0,+∞)上是增函数,又函数y=loga|x|的图像关于y轴对称.因此y=loga|x|的图像应大致为选项B.
6.已知f(x)=lg(1
4、0+x)+lg(10-x),则 ( )
A.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是增函数
B.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是增函数
C.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是减函数
D.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是减函数
【解析】选D.由得x∈(-10,10),且f(x)=lg(100-x2).所以f(x)是偶函数,
又t=100-x2在(0,10)上单调递减,y=lg t在(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)在(0,10)上单调递减.
7.(2020·宁德模拟)已知函数f(x)=lg(|x|+1),记a=f(50.2),b=f(log0.23),c=f(1
5、),则a,b,c的大小关系为 世纪金榜导学号( )
A.b50=1,06、·深圳模拟)函数f(x)=ln 的定义域为________________,值域为________________.
【解析】使f(x)有意义,则>0.
所以x>1或x<-1,所以定义域为{x|x>1或x<-1}.
又因为ln =ln =ln ,因为1+>0且1+≠1,
所以ln ≠0,
所以f(x)的值域为∪.
答案:{x|x>1或x<-1}
∪
【变式备选】
函数f(x)=的定义域为________________.
【解析】由题意得解得07、)=f(c),则abc的取值范围是________________.世纪金榜导学号
【解析】作出函数f(x)的大致图像如图.
由图像知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨设0ln e=1,即x>1,
8、0=log519、x)+ln(a-1-x),
所以(1-x)(a-1+x)=(1+x)(a-1-x),
整理得(a-2)x=0恒成立,
所以a=2,所以f(x)=lnx+ln(2-x),定义域为(0,2).
又f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(2x-x2),
因为00,且a≠1)有最小值,则实数a的值等于________________.
【解析】令g(x)=x2-2x+a,则f(x)=loga[
10、g(x)].
①若a>1,由于函数f(x)有最小值,
则g(x)应有最小值,
而g(x)=x2-2x+a=(x-)2+a-6,
当x=时,取最小值a-6,
因此有解得a=9.
②若00,a≠1),且f(1)=2. 世纪金榜导学号
(1)求a的值及f(x)的定义域.
(2)求f(x)在区间上的最大值.
【解析】(1)因为f(1)=2,所以loga4=2(a>0,a≠1),
11、所以a=2.由得-112、说明理由.
【解析】(1)因为a>0且a≠1,设t(x)=3-ax,
则t(x)=3-ax为减函数,
当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,
当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,
即当x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.
所以3-2a>0.所以a<.又a>0且a≠1,
所以a的取值范围是(0,1)∪.
(2)t(x)=3-ax,因为a>0,且a≠1,
所以函数t(x)为减函数.
因为f(x)在区间[1,2]上为减函数,
所以y=logat为增函数,
所以a>1,x∈[1,2]时,t(x)最小值为3-2a,
f(x)最大值为f(1)=loga(3-a),
所以即
故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.
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