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第二章 第一节 函数及其表示
授课提示：对应学生用书第271页
[A组 基础保分练]
1.（2021·宣城模拟）函数y＝的定义域为（ ）
A.（－1，3] B.（－1，0）∪（0，3]
C.[－1，3] D.[－1，0）∪（0，3]
解析：由已知得解得x∈（－1，0）∪（0，3].
答案：B
2.（2021·吉安模拟）已知f＝2x－5，且f（a）＝6，则a等于（ ）
A. B.－
C. D.－
解析：令t＝x－1，则x＝2t＋2，f（t）＝2（2t＋2）－5＝4t－1，则f（a）＝4a－1＝6，解得a＝.
答案：A
3.已知定义在[0，＋∞）上的函数f（x）＝2f（x＋1），当x∈[0，1）时，f（x）＝，则当x∈[1，2）时，f（x）＝（ ）
A.－ B.
C. D.－
解析：根据f（x）＝2f（x＋1）得f（x－1）＝2f（x）.当x∈[1，2）时，x－1∈[0，1），f（x－1）＝＝，所以f（x）＝f（x－1）＝ .
答案：B
4.（2021·芜湖模拟）如果函数f（x）＝ln（－2x＋a）的定义域为（－∞，1），那么实数a的值为（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
解析：因为－2x＋a＞0，所以x＜，所以＝1，得a＝2.
答案：D
5.（2021·邢台模拟）下列函数满足f（log32）＝f（log23）的是（ ）
A.f（x）＝2x＋2－x B.f（x）＝x2＋2x
C.f（x）＝ D.f（x）＝
解析：由于log32＝，故问题等价于满足f（x）＝f的函数.对于A选项，f＝2＋2－≠f（x），不符合题意；对于B选项，f＝＋≠f（x），不符合题意；对于C选项，f（x）＝x＋，f＝＋x＝f（x），符合题意；对于D选项，f＝＝≠f（x），不符合题意.
答案：C
6.（2021·揭阳模拟）已知函数f（x）＝2x2－a，f（）＝，则f（－）＝（ ）
A.1 B.－
C. D.
解析：依题意f（）＝23－a＝＝2－2，故3－a＝－2，解得a＝5.故f（x）＝2x2－5，所以f（－）＝22－5＝2－3＝.
答案：D
7.已知函数y＝f（2x－1）的定义域是[0，1]，则函数的定义域是（ ）
A.[1，2] B.（－1，1]
C. D.（－1，0）
解析：由f（2x－1）的定义域是[0，1]，得0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1，所以函数f（x）的定义域是[－1，1]，所以要使函数有意义，需满足解得－1<x<0.
答案：D
8.设函数f（x）＝则满足f[f（a）]＝2f（a）的a的取值范围是（ ）
A. B.[0，1]
C. D.[1，＋∞）
解析：由f[f（a）]＝2f（a）得，f（a）≥1.
当a＜1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a＜1；
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥.
答案：C
9.（2021·郴州模拟）已知函数f（x）＝若f（f（－2））＝－2，则a＝__________.
解析：f（f（－2））＝f（3）＝a＝－2.
答案：－2
10.设函数f（x）＝若f（a）<1，则实数a的取值范围是__________.
解析：若a<0，则f（a）<1⇔－7<1⇔<8，解得a>－3，故－3<a<0；若a≥0，则f（a）<1⇔<1，解得a<1，故0≤a<1.综上可得－3<a<1.
答案：（－3，1）
[B组 能力提升练]
1.（2021·聊城模拟）已知函数f（x）＝
则f（2 019）＝（ ）
A.2 B.
C.－2 D.e＋4
解析：因为当x＞2时，f（x）＝－f（x－2），所以f（x＋2）＝－f（x），故f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），因此当x＞2时，函数f（x）是以4为周期的函数，所以f（2 019）＝f（3＋4×504）＝f（3）＝－f（1），又当x≤2时，f（x）＝ex－1＋x2，所以f（2 019）＝－f（1）＝－（1＋1）＝－2.
答案：C
2.设f（x），g（x）都是定义在实数集上的函数，定义函数（f·g）（x）：任意x∈R，（f·g）（x）＝f（g（x））.若f（x）＝g（x）＝则（ ）
A.（f·f）（x）＝f（x） B.（f·g）（x）＝f（x）
C.（g·f）（x）＝g（x） D.（g·g）（x）＝g（x）
解析：对于A选项，（f·f）（x）＝f（f（x））＝当x＞0时，f（x）＝x＞0，（f·f）（x）＝f（x）＝x；当x＜0时，f（x）＝x2＞0，（f·f）（x）＝f（x）＝x2；当x＝0时，f（x）＝0，（f·f）（x）＝f2（x）＝0＝f（x），因此对任意的x∈R，都有（f·f）（x）＝f（x），故A正确.
答案：A
3.（2021·大庆模拟）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1，3}的同族函数有（ ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析：由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±，所以函数的定义域可以是{0，}，{0，－}，{0，，－}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个.
答案：C
4.（2021·乌鲁木齐模拟）函数f（x）＝则不等式f（x）＞1的解集为（ ）
A.（1，2） B.
C. D.[2，＋∞）
解析：当x＜2时，不等式f（x）＞1即ex－1＞1，
∴x－1＞0，∴x＞1，则1＜x＜2；
当x≥2时，不等式f（x）＞1即－log3（x－1）＞1，
∴0＜x－1＜，∴1＜x＜，此时不等式无解.
综上可得，不等式的解集为（1，2）.
答案：A
5.（2021·荆州模拟）已知函数f（x）＝
若f（f（1））＞3a2，则a的取值范围是__________.
解析：由题知，f（1）＝2＋1＝3，f（f（1））＝f（3）＝32＋6a，若f（f（1））＞3a2，则9＋6a＞3a2，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3.
答案：（－1，3）
6.已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是__________.
解析：由题意知y＝ln x（x≥1）的值域为[0，＋∞），故要使f（x）的值域为R，则必有y＝（1－2a）x＋3a为增函数，且1－2a＋3a≥0，所以1－2a＞0，且a≥－1，解得－1≤a＜.
答案：
[C组 创新应用练]
1.下列函数中，不满足f（2 018x）＝2 018f（x）的是（ ）
A.f（x）＝|x| B.f（x）＝x－|x|
C.f（x）＝x＋2 D.f（x）＝－2x
解析：若f（x）＝|x|，则f（2 018x）＝|2 018x|＝2 018|x|＝2 018f（x）；若f（x）＝x－|x|，则f（2 018x）＝2 018x－|2 018x|＝2 018（x－|x|）＝2 018f（x）；若f（x）＝x＋2，则f（2 018x）＝2 018x＋2，而2 018f（x）＝2 018x＋2 018×2，故f（x）＝x＋2不满足f（2 018x）＝2 018f（x）；若f（x）＝－2x，则f（2 018x）＝－2×2 018x＝2 018×（－2x）＝2 018f（x）.
答案：C
2.（2021·郑州模拟）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f（x）＝，则函数y＝[f（x）]的值域为（ ）
A.{0，1，2，3} B.{0，1，2}
C.{1，2，3} D.{1，2}
解析：f（x）＝＝＝1＋，
因为2x＞0，所以1＋2x＞1，所以0＜＜1，
则0＜＜2，所以1＜1＋＜3，
即1＜f（x）＜3，
当1＜f（x）＜2时，[f（x）]＝1，
当2≤f（x）＜3时，[f（x）]＝2.
综上，函数y＝[f（x）]的值域为{1，2}.
答案：D
3.设f（x）是定义在R上的函数，且f（x＋2）＝f（x），f（x）＝其中a，b为正实数，e为自然对数的底数，若f＝f，则的取值范围为__________.
解析：因为f（x＋2）＝f（x），所以f＝f＝（）2f＝2eb，f＝f＝f＝＝（a－1），因为f＝f，所以（a－1）＝2eb，所以a＝eb＋1，因为b为正实数，所以＝＝e＋∈（e，＋∞）.故的取值范围为（e，＋∞）.
答案：（e，＋∞）
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