2022高考数学二轮复习分层特训卷主观题专练平面向量三角函数与解三角形1文.doc

平面向量、三角函数与解三角形(1)
1．[2022·河北保定摸底]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π，x∈R)在一个周期内的局部对应值如下表：
x
－
－
0

f(x)
－2
0
2
0
－2
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f(x)－2sin x的最大值及其对应的x的值．
解析：(1)由表格可知，A＝2，f(x)的周期T＝－＝π，
所以ω＝＝2.
又2sin(2×0＋φ)＝2，得sin φ＝1，
因为－π<φ<π，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin＝2cos 2x.
(2)g(x)＝f(x)－2sin x＝cos 2x－2sin x＝1－2sin2x－2sin x＝－22＋.
又sin x∈[－1,1]，所以当sin x＝－时，g(x)取得最大值，
此时x＝2kπ－或x＝2kπ＋(k∈Z)．
2．[2022·北京卷]函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)假设f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
解析：(1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x＝－cos 2x＋sin 2x＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，所以－≤2x－≤2m－.
要使得f(x)在区间上的最大值为，
即sin在区间上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.所以m的最小值为.
3．[2022·济南市学习质量评估]我国?物权法?规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，阻碍相邻建筑物的通风、采光和日照．某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52 m．假设该小区内某居民在距离楼底27 m高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，求该小区的住宅楼实际楼间距？
解析：
设两住宅楼实际楼间距为x m．如图，根据题意可得，tan∠DCA＝，tan∠DCB＝＝，又∠DCA＋∠DCB＝45°，所以tan(∠DCA＋∠DCB)＝＝1，整理得x2－45x－27×18＝0，解得x＝54或x＝－9(舍去)．所以该小区的住宅楼实际楼间距为54 m.
4．[2022·长沙，南昌联合模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin B＝asin A＋(c－a)sin C.
(1)求B；
(2)假设3sin C＝2sin A，且△ABC的面积为6，求b.
解析：(1)由bsin B＝asin A＋(c－a)sin C及正弦定理，得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac.
由余弦定理，得cos B＝＝＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由(1)得B＝，所以△ABC的面积为acsin B＝ac＝6，得ac＝24.
由3sin C＝2sin A及正弦定理，得3c＝2a，所以a＝6，
c＝4.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝36＋16－24＝28，所以b＝2.
5．[2022·湖北八校第一次联考]函数f(x)＝sin 2x－cos2x＋(x∈R)，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1.
(1)求角A的大小；
(2)假设△ABC的面积为，且a＝，求b＋c的值．
解析：(1)依题意得f(x)＝sin 2x－cos2x＋＝sin 2x－＋＝sin 2x－cos 2x＝sin.
因为A∈(0，π)，所以2A－∈，
所以由f(A)＝sin＝1，得2A－＝，所以A＝.
(2)因为S△ABC＝bcsin＝，所以bc＝4.　①
又由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos＝13，
化简得(b＋c)2－3bc＝13.　②
将①式代入②式，得b＋c＝5.
6．[2022·河北衡水中学三调]在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m＝，n＝，且满足|m＋n|＝.
(1)求角A的大小；
(2)假设b＋c＝a，试判断△ABC的形状．
解析：(1)∵|m＋n|＝，∴m2＋n2＋2m·n＝3，又m＝，n＝，
∴1＋1＋2＝3，
∴coscos＋sinsin＝，
即cos＝，
∴cosA＝，∵0°<A<180°，∴A＝60°.
(2)∵cos A＝，∴由余弦定理得＝　①，
又b＋c＝a　②，联立①②得bc＝b2＋c2－2，即2b2－5bc＋2c2＝0，解得b＝2c或c＝2b.
①假设b＝2c，∵b＋c＝a，那么a＝c，
∴a2＋c2＝(c)2＋c2＝4c2＝b2，∴此时△ABC是以角B为直角的直角三角形．
②假设c＝2b，∵b＋c＝a，那么a＝b，∴a2＋b2＝(b)2＋b2＝4b2＝c2，
∴此时△ABC是以角C为直角的直角三角形．