1、平面向量、三角函数与解三角形(1)
1．[2022·河北保定摸底]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π，x∈R)在一个周期内的局部对应值如下表：
x
－
－
0
f(x)
－2
0
2
0
－2
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f(x)－2sin x的最大值及其对应的x的值．
解析：(1)由表格可知，A＝2，f(x)的周期T＝－＝π，
所以ω＝＝2.
又2sin(2×0＋φ)＝2，得sin φ＝1，
因为－π<φ<π，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin＝2cos 2x.
(2)g(x)＝f(x)－2si
2、n x＝cos 2x－2sin x＝1－2sin2x－2sin x＝－22＋.
又sin x∈[－1,1]，所以当sin x＝－时，g(x)取得最大值，
此时x＝2kπ－或x＝2kπ＋(k∈Z)．
2．[2022·北京卷]函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)假设f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
解析：(1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x＝－cos 2x＋sin 2x＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，所以－≤2x－≤2m－.
要
3、使得f(x)在区间上的最大值为，
即sin在区间上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.所以m的最小值为.
3．[2022·济南市学习质量评估]我国?物权法?规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，阻碍相邻建筑物的通风、采光和日照．某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52 m．假设该小区内某居民在距离楼底27 m高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，求该小区的住宅楼实际楼间距？
解析：
设两住宅楼实际楼间距为x m．如图，根据题意可得，tan∠DCA＝，tan∠DCB＝＝，又
4、∠DCA＋∠DCB＝45°，所以tan(∠DCA＋∠DCB)＝＝1，整理得x2－45x－27×18＝0，解得x＝54或x＝－9(舍去)．所以该小区的住宅楼实际楼间距为54 m.
4．[2022·长沙，南昌联合模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin B＝asin A＋(c－a)sin C.
(1)求B；
(2)假设3sin C＝2sin A，且△ABC的面积为6，求b.
解析：(1)由bsin B＝asin A＋(c－a)sin C及正弦定理，得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac.
由余弦定理，得cos B＝＝＝，
因为B∈(0，π)，所
5、以B＝.
(2)由(1)得B＝，所以△ABC的面积为acsin B＝ac＝6，得ac＝24.
由3sin C＝2sin A及正弦定理，得3c＝2a，所以a＝6，
c＝4.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝36＋16－24＝28，所以b＝2.
5．[2022·湖北八校第一次联考]函数f(x)＝sin 2x－cos2x＋(x∈R)，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1.
(1)求角A的大小；
(2)假设△ABC的面积为，且a＝，求b＋c的值．
解析：(1)依题意得f(x)＝sin 2x－cos2x＋＝sin 2x－＋＝sin 2x－cos
6、 2x＝sin.
因为A∈(0，π)，所以2A－∈，
所以由f(A)＝sin＝1，得2A－＝，所以A＝.
(2)因为S△ABC＝bcsin＝，所以bc＝4. ①
又由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos＝13，
化简得(b＋c)2－3bc＝13. ②
将①式代入②式，得b＋c＝5.
6．[2022·河北衡水中学三调]在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m＝，n＝，且满足|m＋n|＝.
(1)求角A的大小；
(2)假设b＋c＝a，试判断△ABC的形状．
解析：(1)∵|m＋n|＝，∴m2＋n2＋2m·n＝3，又m＝，n＝，
∴1＋1＋2＝3，
∴coscos＋sinsin＝，
即cos＝，
∴cosA＝，∵0°
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