2022年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷(理科).docx

2022年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷理科一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的15分集合A=x|1x3，B=xZ|x25，那么AB=A0，1B1，0，1，2C1，0，1D2，1，0，1，225分复数z=1i，那么以下命题中正确的个数为：|z|=；=1+i；z的虚部为iA0B1C2D335分向量=1，x+1，=1x，2，那么+=A15B15C20D2045分ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，那么AB=A2BC+D2+55分将一根长为6m的绳子剪为二段，那么其中一段大于另一段2倍的概率为ABCD65分执行如下列图的程序框图，输出的S值是AB1C0D175分 九章算术 卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体网格纸中粗线局部为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么该刍甍的体积为A4立方丈B5立方丈C6立方丈D12立方丈85分a=log52，b=log73，c=log3，那么a，b，c的大小关系AabcBacbCbacDcba95分Px，y为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2xy的最大值是A6B3C2D1105分三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，那么球的外表积为A4B3C8D12115分假设圆x2+y12=9与双曲线=1a0，b0经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，那么此双曲线的离心率为ABC2D125分对于实数a、b，定义运算“：ab=，设fx=2x3x3，且关于x的方程fx=kkR恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，那么x1x2x3取值范围为A0，3B1，0C，0D3，0二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.135分假设sin+coscos+sin=，那么cos2=145分4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，那么共有种结果155分fx=f4x，当x2时，fx=ex，f3+f3=165分设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，假设|AF|=2|BF|，那么三角形CDF的面积为三、解答题：本大题共5小题，共70分解答写出文字说明、证明过程或演算过程1712分数列an的前n项和为Sn，an0且满足an=2SnnN*求数列an的通项公式；求数列的前n项和Tn1812分如图，在三棱锥DABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE平面ABC，F为AB的中点求证：平面ABD平面DEF；假设ADDC，AC=4，BAC=45，求二面角ABDC的余弦值1912分某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的局部按4元/立方米收费，超出w立方米的局部按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，求a，b，c的值及居民用水量介于22.5的频数；根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米精确到小数掉后2位假设将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值2012分椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点求椭圆C的标准方程；假设圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大并求出最大面积2112分设函数fx=xlnxax+1，gx=2x3+3x2x+求函数fx在，e上有两个零点，求a的取值范围；求证：fx+axgx选修4-4：坐标系与参数方程选讲2210分在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数，曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2求C2的极坐标方程；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|选修4-5：不等式选讲23函数fx=|x3|x+5|求不等式fx2的解集；设函数fx的最大值为M，假设不等式x2+2x+mM恒成立，求m的取值范围2022年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷理科参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的15分集合A=x|1x3，B=xZ|x25，那么AB=A0，1B1，0，1，2C1，0，1D2，1，0，1，2【解答】解：A=x|1x3，B=xZ|x25=xZ|x=2，1，0，1，2，AB=1，0，1，2，应选：B25分复数z=1i，那么以下命题中正确的个数为：|z|=；=1+i；z的虚部为iA0B1C2D3【解答】解：z=1i，|z|=，故正确；，故正确；z的虚部为1，故错误正确命题的个数为2个应选：C35分向量=1，x+1，=1x，2，那么+=A15B15C20D20【解答】解：向量=1，x+1，=1x，2，假设，那么=1x+2x+1=x+3=0，解可得x=3，那么=1，2，=4，2，+=5，0，=3，4；那么+=15；应选：A45分ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，那么AB=A2BC+D2+【解答】解：tanA=，由于：0A，解得：A=，利用余弦定理：BC2=AC2+AB22ACABcosA，解得：AB=负值舍去应选：C55分将一根长为6m的绳子剪为二段，那么其中一段大于另一段2倍的概率为ABCD【解答】解：绳子的长度为6m，折成两段后，设其中一段长度为x，那么另一段长度6x，记“其中一段长度大于另一段长度2倍为事件A，那么A=x|=x|0x2或4x6，PA=，应选：B65分执行如下列图的程序框图，输出的S值是AB1C0D1【解答】解：此题为直到型循环结构的程序框图，由框图的流程知：算法的功能是求S=cos+cos+cos的值，y=cos的周期为4，2022=5044+1输出S=504cos+cos+cos+cos2+cos=0 应选：C75分 九章算术 卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体网格纸中粗线局部为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么该刍甍的体积为A4立方丈B5立方丈C6立方丈D12立方丈【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角形三棱柱的高为2三棱柱的体积V=两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1体积V=2该刍甍的体积为：3+2=5应选：B85分a=log52，b=log73，c=log3，那么a，b，c的大小关系AabcBacbCbacDcba【解答】解：c=log3=log53log73，b=log73=，a=log52=，那么a，b，c的大小关系为：abc应选：A95分Px，y为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2xy的最大值是A6B3C2D1【解答】解：由作出可行域如图，由图可得Aa，a，Da，a，Ba+1，a+1，Ca+1，a1由该区域的面积为3时，1=3，得a=1A1，1，C2，2化目标函数z=2xy为y=2xz，当y=2xz过C点时，z最大，等于222=6应选：A105分三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，那么球的外表积为A4B3C8D12【解答】解：三棱锥SABC中，SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长均为1，三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，所以球的直径为：，半径为，外接球的外表积为：42=3应选：B115分假设圆x2+y12=9与双曲线=1a0，b0经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，那么此双曲线的离心率为ABC2D【解答】解：依题意可知双曲线的经过二、四象限的渐近线方程为bx+ay=0，|AB|=2，圆的圆心为，1，半径为3，圆心到渐近线的距离为=，即=，解得b=a，c=a，双曲线的离心率为e=应选：A125分对于实数a、b，定义运算“：ab=，设fx=2x3x3，且关于x的方程fx=kkR恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，那么x1x2x3取值范围为A0，3B1，0C，0D3，0【解答】解：ab=，fx=2x3x3=，其图象如以下列图所示：由图可得：x1=k，x2x3=k，故x1x2x3=k2，k0，3，x1x2x33，0，应选：D二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.135分假设sin+coscos+sin=，那么cos2=【解答】解：sin+coscos+sin=sin+=sin=，那么cos2=12sin2=12=，故答案为：145分4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，那么共有54种结果【解答】解：根据题意，先计算4名同学去参加3 个不同的社团组织的情况数目，4个同学中每人可以在3 个不同的社团组织任选1个，即每人有3种不同的选法，那么4人有3333=81种情况，再计算甲乙参加同一个社团组织的情况数目，假设甲乙参加同一个社团组织，甲乙两人有3种情况，剩下的2人每人有3种不同的选法，那么剩下的2人有33=9种情况，那么甲乙参加同一个社团组织的情况有39=27种；那么甲乙两位同学不参加同一个社团组织的情况有8127=54种；故答案为：54155分fx=f4x，当x2时，fx=ex，f3+f3=0【解答】解：由fx=f4x可得，函数fx的图象关于直线x=2对称，当x2时，fx=ex，fx=ex，f3=f1=e，f3=f1=e，故f3+f3=0，故答案为：0165分设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，假设|AF|=2|BF|，那么三角形CDF的面积为3【解答】解：如图，抛物线y2=4x的焦点F1，0，准线l为x=1，设l所在直线方程为y=kx1，设Ax1，y1，Bx2，y2联立，得k2x22k2+4x+k2=0，x1x2=1，|AF|=2|BF|，x1+1=2x2+1，由解得x2=，x1=2，或x1=1，x2=1舍去y1=2，y2=，|CD|=y1y2=3，|FG|=1+1=2，SCDF=|CD|FG|=32=3，故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分解答写出文字说明、证明过程或演算过程1712分数列an的前n项和为Sn，an0且满足an=2SnnN*求数列an的通项公式；求数列的前n项和Tn【解答】解：当n=1时，解得a1=1；由an=2Sn，整理得，得：，an+1+anan+1an2=0，an0，an+1an2=0，即an1an=2数列an是以1为首项，以2为公差的等差数列，那么an=1+2n1=2n1；=，得：=1812分如图，在三棱锥DABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE平面ABC，F为AB的中点求证：平面ABD平面DEF；假设ADDC，AC=4，BAC=45，求二面角ABDC的余弦值【解答】证明：DE平面ABC，ABDE，又F为AB的中点，DA=DB，ABDF，DFDE=E，且DF、DE平面DEF，又AB平面ABD，平面ABD平面DEF；解：DE平面ABC，ACDE，又DA=DC，E为AC中点，F是AB中点，EFBC，由知ABEF，ABBC，又BAC=45，ABC为等腰直角三角形，AC=4，AB=BC=DA=DB=DC=2，取BD中点G，连结AG、CG，那么AGDB，CGDB，AGC为二面角ABDC的平面角，在AGC中，cosAGC=，二面角ABDC的余弦值为1912分某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的局部按4元/立方米收费，超出w立方米的局部按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，求a，b，c的值及居民用水量介于22.5的频数；根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米精确到小数掉后2位假设将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值【解答】解：前四组频数成等差数列，所对应的频率也成等差数列，设a=0.2+d，b=0.2+2d，c=0.2+3d，0.5a+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1=1，解得d=0.1，a=0.3，b=0.4，c=0.5居民月用水量介于22.5的频率为0.25居民月用水量介于22.5的频数为0.25100=25人由图可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.70.8，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为=2.5+2.83立方米将频率视为概率，设A代表居民月用水量，由图知：PA2.5=0.7，由题意XB3，0.7，PX=0=0.027，PX=1=0.189，PX=2=0.441，PX=3=0.343X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343XB3，0.7，EX=np=2.12012分椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点求椭圆C的标准方程；假设圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大并求出最大面积【解答】解：椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率等于，设椭圆方程为，根据题意得：，解得：所以椭圆C的方程为；设Ax0，y0，那么矩形ABCD的面积S=4|x0y0|由，得，=22+1，时，max=1，Smax=41=4，此时r2=即r=2112分设函数fx=xlnxax+1，gx=2x3+3x2x+求函数fx在，e上有两个零点，求a的取值范围；求证：fx+axgx【解答】解：由fx=xlnxax+1=0，得：a=lnx+，问题转化为a=lnx+在，e上有2个不同的解，令hx=lnx+，x，e，那么hx=，令hx0，解得：x1，令hx0，解得：0x1，故hx在0，1递减，在1，+递增，而h1=1，h=e1，he=1+e1，故a的范围是1，1+；要证fx+axgx，只要证明xlnx+1gx，先证xlnx+1x，构造函数Fx=xlnx+1x，Fx=1+lnx1=lnx，x=1时，Fx=0，当0x1时，Fx0，x1时，Fx0，故Fx在0，1递减，在1，+递增，故FxF1=0，即证xlnx+1x，等号成立当且仅当x=1，再证明x，+时，gxx，构造函数Gx=xgx=2，Gx=60，Gx在，+递增，GxG=0，即证明gxx，等号成立当且仅当x=，故x0，时，构造函数x=fx+ax=xlnx+1，x=1+lnx，x=时，x=0，当0x时，x0，当x时，x0，即x在0，递减，在，递增，x0，时，x=1，gx=6+1，x0，时，gx1，又g0=0，g=10，存在x00，使得gx0=0，且gx在0，x0递减，在x0，递增，故x0，时，gxmaxg0，g=，gx1x，综上，对任意x0，fx+axgx选修4-4：坐标系与参数方程选讲2210分在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数，曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2求C2的极坐标方程；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|【解答】解：曲线C1的参数方程为为参数，转化为直角坐标方程为：x2+y2=1，曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2即：，故C2的直角坐标方程为：转化为极坐标方程为：曲线C1的参数方程为为参数，转化为极坐标方程为1=1，由题意得到：A1，将B，代入坐标方程：得到，那么：|AB|=选修4-5：不等式选讲23函数fx=|x3|x+5|求不等式fx2的解集；设函数fx的最大值为M，假设不等式x2+2x+mM恒成立，求m的取值范围【解答】解：x3时，fx=8，此时fx2恒成立，5x3时，fx=2x2，由fx2，解得：2x3，x5时，fx=8，此时fx2，无解，综上，fx2的解集是x|x2；由得fx=，易知函数的最大值是8，假设x2+2x+m8恒成立，得mx22x+8恒成立，即mx+12+9，故m9