2017年广东省佛山市顺德区中考数学一模试卷.doc

2017年广东省佛山市顺德区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将下列各题的正确选项填写在答题卡相应的位置上.
1．（3分）y=x2+2的对称轴是直线（　　）
A．x=2 B．x=0 C．y=0 D．y=2
2．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
3．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=，则∠A=（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（　　）

A．20° B．40° C．50° D．70°
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（　　）

A．msin35° B．mcos35° C． D．
8．（3分）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
9．（3分）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（　　）

A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
10．（3分）在同一坐标系中一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（　　）
A． B． C． D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11．（4分）已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是2m，则直线l与⊙O的位置关系是　　．
12．（4分）把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为　　．
13．（4分）如图，等腰△ABC的周长是36cm，底边为10cm，则底角的正切值是　　．

14．（4分）如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3cm，则该扇形的弧长为　　cm，面积为　　cm2．（结果保留π）

15．（4分）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是　　．

16．（4分）抛物线的顶点在（1，﹣2），且过点（2，3），则函数的关系式：　　．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）请在答题卡相应位置上作答.
17．（6分）计算：2﹣1+cos30°+|﹣5|﹣（π﹣2017）0．
18．（6分）如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=l，求⊙O的半径．

19．（6分）某商店购买一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件．据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高一元，销售量相应减少20件．如何提高销售价，才能在半月内获得最大利润？

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）请在答题卡相应位置上作答.
20．（7分）校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y=﹣x2+x+，求：
（1）铅球的出手时的高度；
（2）小明这次试掷的成绩．

21．（7分）如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732，≈1.414）

22．（7分）如图，A，B，C，D，P是⊙O上的五个点，且∠APB=∠CPD.与的大小有什么关系？为什么？

五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）请在答题卡相应位置上作答.
23．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，矩形DEFG的顶点位于△ABC的边上，设EF=x，S四边形DEFG=y．
（1）填空：自变量x的取值范围是　　；
（2）求出y与x的函数表达式；
（3）请描述y随x的变化而变化的情况．

24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于P．弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连结BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）探究线段PC，PF之间的大小关系，并加以证明；
（3）若tan∠PCB=，BE=，求PF的长．

25．（9分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2017年广东省佛山市顺德区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将下列各题的正确选项填写在答题卡相应的位置上.
1．（3分）（2017•顺德区一模）y=x2+2的对称轴是直线（　　）
A．x=2 B．x=0 C．y=0 D．y=2
【分析】直接根据顶点式的特殊形式可得对称轴．
【解答】解：因为y=x2+2可看作抛物线的顶点式，
顶点坐标为（0，2），
所以，对称轴为直线x=0．
故选B．
【点评】主要考查了求抛物线的对称轴的方法．

2．（3分）（2016•湘潭）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由y=2（x﹣3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，1）．
故选：A．
【点评】此题考查二次函数的性质，解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．

3．（3分）（2017•顺德区一模）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，
∴∠AOC=2∠B=150°．
故选D．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

4．（3分）（2016•怀化）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵sinA==，
∴设BC=4x，AB=5x，
又∵AC2+BC2=AB2，
∴62+（4x）2=（5x）2，
解得：x=2或x=﹣2（舍），
则BC=4x=8cm，
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键．

5．（3分）（2017•顺德区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=，则∠A=（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】首先画出图形，进而利用锐角三角函数关系的定义得出即可．
【解答】解：如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=，
∴tanA==．
∴∠A=30°，
故选A．

【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握锐角三角函数定义是解题关键．

6．（3分）（2016•娄底）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（　　）

A．20° B．40° C．50° D．70°
【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠ACB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠D=40°，
∴∠B=∠D=40°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°﹣40°=50°．
故选C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

7．（3分）（2016•三明）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（　　）

A．msin35° B．mcos35° C． D．
【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．
【解答】解：sin∠A=，
∵AB=m，∠A=35°，
∴BC=msin35°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．

8．（3分）（2011•襄阳）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
【分析】分为两种情况：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，求出△=b2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可；②当k﹣3=0时，得到一次函数y=2x+1，与x轴有交点；即可得到答案．
【解答】解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，
△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣3）×1=﹣4k+16≥0，
k≤4；
②当k﹣3=0时，y=2x+1，与x轴有交点．
故选B．
【点评】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．

9．（3分）（2017•顺德区一模）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（　　）

A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
【解答】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OM的最大值为5，
∵OM⊥AB与M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM中，OM====4；
此时OM最短，
当OM是半径时最长，OM=5．
所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．
故选B．

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．

10．（3分）（2017•顺德区一模）在同一坐标系中一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（　　）
A． B． C． D．
【分析】可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．
故选A．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11．（4分）（2017•顺德区一模）已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是2m，则直线l与⊙O的位置关系是　相交　．
【分析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与⊙O的位置关系为相交．
【解答】解：∵圆心O到直线l的距离是2cm，小于⊙O的半径为3cm，
∴直线l与⊙O相交．
故答案为：相交．
【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．

12．（4分）（2017•顺德区一模）把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为　y=﹣（x+1）2+3　．
【分析】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y=﹣x2顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为（﹣1，3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式．
【解答】解：根据题意，
原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，3），
∴平移后抛物线解析式为：y=﹣（x+1）2+3．
故答案为：y=﹣（x+1）2+3．
【点评】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的关系．关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，运用顶点式求抛物线的解析式．

13．（4分）（2017•顺德区一模）如图，等腰△ABC的周长是36cm，底边为10cm，则底角的正切值是　　．

【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=DC=BC=5cm，AB=AC=13cm，根据勾股定理得到AD=12，由三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AB=AC，AD是高，BC=10cm，
∴BD=DC=BC=5cm，AB=AC=13cm，
在Rt△ADB中，
由勾股定理得：AB2=AD2+BD2，
∴AD=12cm，
∴tanC==．
故答案为：．

【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，作出图形是解题的关键．

14．（4分）（2017•顺德区一模）如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3cm，则该扇形的弧长为　2π　cm，面积为　3π　cm2．（结果保留π）

【分析】直接利用弧长公式和扇形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：∵扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，
∴该扇形的弧长为：=2π，面积为=3π．
故答案为：2π，3π．
【点评】此题主要考查了弧长公式及扇形面积公式的应用，熟练记忆弧长公式是解题关键．

15．（4分）（2011•丛台区校级自主招生）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是　﹣1＜x＜3　．

【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集．
【解答】解：由图象得：对称轴是x=1，其中一个点的坐标为（3，0）
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）
利用图象可知：
ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，
∴﹣1＜x＜3
故填：﹣1＜x＜3
【点评】此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．

16．（4分）（2017•顺德区一模）抛物线的顶点在（1，﹣2），且过点（2，3），则函数的关系式：　y=5（x﹣1）2﹣2　．
【分析】根据顶点坐标设出抛物线的顶点式，将点（2，3）代入求得a的值即可．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
将点（2，3）代入，得：a﹣2=3，
解得：a=5，
∴抛物线的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2，
故答案为：y=5（x﹣1）2﹣2．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）请在答题卡相应位置上作答.
17．（6分）（2017•顺德区一模）计算：2﹣1+cos30°+|﹣5|﹣（π﹣2017）0．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
【解答】解：原式=+×+5﹣1=++5﹣1=6．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（6分）（2017•顺德区一模）如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=l，求⊙O的半径．

【分析】根据垂径定理得到直角三角形，然后在直角三角形中运用勾股定理计算出半径的长．
【解答】解：如图：
连接OA，由OC⊥AB于D，得：AD=DB=AB=4．
设⊙O的半径为r，在Rt△OAD中，OA2=AD2+OD2
∴r2=（r﹣1）2+42
整理得：2r=17
∴r=．
所以圆的半径是．

【点评】本题考查的是垂径定理，根据垂径定理求出AD的长，连接OA，得到直角三角形，然后在直角三角形中计算出半径的长．

19．（6分）（2017•顺德区一模）某商店购买一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件．据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高一元，销售量相应减少20件．如何提高销售价，才能在半月内获得最大利润？
【分析】总利润=每件日用品的利润×可卖出的件数，利用公式法可得二次函数的最值，减去原价即为提高的售价．
【解答】解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得y=（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]=（x﹣20）（1000﹣20x）=﹣20x2+1400x﹣20000，
当x=﹣=35时，y最大=4500，
这时，x﹣30=35﹣30=5．
所以，销售单价提高5元，才能在半月内获得最大利润4500元．
【点评】考查二次函数的应用；得到半月内可卖出日用品的件数是解决本题的难点．

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）请在答题卡相应位置上作答.
20．（7分）（2017•顺德区一模）校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y=﹣x2+x+，求：
（1）铅球的出手时的高度；
（2）小明这次试掷的成绩．

【分析】（1）当x=0时，求出y的值就可以求出铅球出手时的高度；
（2）铅球落地才能计算成绩，此时y=0，即y=﹣0.2x2+1.6x+1.8=0，解方程即可．在实际问题中，注意负值舍去．
【解答】解：（1）当x=0时，y=，
∴铅球的出手时的高度为m．
（2）由题意可知，把y=0代入解析式得：
﹣x2+x+=0，
解得x1=10，x2=﹣2（舍去），
即该运动员的成绩是10米．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，解决本题的关键是搞清楚铅球落地时，即y=0，测量运动员成绩，也就是求x的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

21．（7分）（2009•中山）如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732，≈1.414）

【分析】过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC就都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长，得到一个关于PC的方程，解出PC的长．从而判断出这条高速公路会不会穿越保护区．
【解答】解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．
则∠APC=30°，∠BPC=45°，
AC=PC•tan30°，BC=PC•tan45°．
∵AC+BC=AB，
∴PC•tan30°+PC•tan45°=100km，
∴PC=100，
∴PC=50（3﹣）≈50×（3﹣1.732）≈63.4km＞50km．
答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．

【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

22．（7分）（2017•顺德区一模）如图，A，B，C，D，P是⊙O上的五个点，且∠APB=∠CPD.与的大小有什么关系？为什么？

【分析】连结OA、OB、OC、OD，先根据圆周角定理得到∠AOB=∠COD，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到=．
【解答】解：与相等．理由如下：
连结OA、OB、OC、OD，如图，
∵∠APB=∠CPD，
∴∠AOB=∠COD，
∴=．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．

五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）请在答题卡相应位置上作答.
23．（9分）（2017•顺德区一模）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，矩形DEFG的顶点位于△ABC的边上，设EF=x，S四边形DEFG=y．
（1）填空：自变量x的取值范围是　0＜x＜12　；
（2）求出y与x的函数表达式；
（3）请描述y随x的变化而变化的情况．

【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）利用勾股定理和等腰三角形的三线合一求得BN、AN，再利用△ADG∽△ABC，得出比例线段，利用x表示出MN，进一步利用矩形的面积求的函数解析式；列表取值，描点画出图象；
（3）根据以上三种表示方式回答问题即可．
【解答】解：（1）0＜x＜12；
故答案为：0＜x＜12；
（2）如图，过点A作AN⊥BC于点N，交DG于点M，
∵AB=AC=10，BC=12，AN⊥BC，
∴BN=CN=6，AN==8，
∵DG∥BC，
∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，
∴△ADG∽△ABC，
，即，
∴MN=8﹣x．
∴y=EF•MN=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣6）2+24；
（3）当0＜x＜6时，y随x的增大而增大；
当x=6时，y的值达到最大值24，
当6＜x＜12时，y随x的增大而减小．
【点评】此题考查二次函数的运用，利用相似三角形的性质、矩形的面积求得函数解析式是解决问题的关键．

24．（9分）（2017•顺德区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于P．弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连结BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）探究线段PC，PF之间的大小关系，并加以证明；
（3）若tan∠PCB=，BE=，求PF的长．

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥CD，则AD∥OC，根据等边对等角，以及平行线的性质即可证得；
（2）根据圆周角定理以及三角形的外角的性质定理证明∠PFC=∠PCF，根据等角对等边即可证得；
（3）证明△PCB∽△PAC，根据相似三角形的性质求得PB与PC的比值，在直角△POC中利用勾股定理即可列方程求解．
【解答】解：（1）连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，
∴∠OCP=∠D=90°，
∴OC∥AD．
∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．即AC平分∠DAB．

（2）PC=PF．
证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠ACD=90°
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．
又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．
∴∠PFC=∠PCF．
∴PC=PF．

（3）连接AE．
∵∠ACE=∠BCE，
∴=，
∴AE=BE．
又∵AB是直径，
∴∠AEB=90°．
AB=，
∴OB=OC=5．
∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC．
∴．
∵tan∠PCB=tan∠CAB=．
∴=．
设PB=3x，则PC=4x，在Rt△POC中，（3x+5）2=（4x）2+52，
解得x1=0，．
∵x＞0，∴，
∴PF=PC=．

【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

25．（9分）（2016•安顺）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；
（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；
（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；

（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，
∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，
连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，﹣），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣，
当x=2时，y=1﹣=﹣，
∴P（2，﹣）；

（3）存在．
如图2所示，

①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），
∴N1（4，﹣）；
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，
在△AN2D与△M2CO中，

∴△AN2D≌△M2CO（ASA），
∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．
∴x2﹣2x﹣=，
解得x=2+或x=2﹣，
∴N2（2+，），N3（2﹣，）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．

【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．

参与本试卷答题和审题的老师有：zhangCF；蓝月梦；73zzx；王学峰；三界无我；ZJX；nhx600；zjx111；bjy；gbl210；cair。；家有儿女；sjzx；sd2011；sks；WWF；lanchong；sdwdmahongye；lanyan；zhjh；gsls（排名不分先后）
菁优网
2017年4月30日
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