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考点规范练3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考点规范练A册第3页
基础巩固组
1.(2015山东潍坊模拟)下列命题中的假命题是( )
A.任意x∈R,>0 B.任意x∈N,x2>0
C.存在x∈R,ln x<1 D.存在x∈N+,sin=1
答案:B
解析:对于B,当x=0时,x2=0,因此B中命题是假命题.
2.若命题“p或q”与命题“p”都是真命题,则( )
A.命题p不一定是假命题
B.命题q一定是真命题
C.命题q不一定是真命题
D.命题p与命题q同真同假
答案:B
解析:命题“p或q”与命题“p”都是真命题,则p为假命题,q为真命题.
3.“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( )
A.存在x0∈R,使得f(x0)>0成立
B.存在x0∈R,使得f(x0)≤0成立
C.任意x∈R,f(x)>0成立
D.任意x∈R,f(x)≤0成立
答案:A
解析:对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解,即不等式f(x)>0在实数范围内有解,所以与命题“存在x0∈R,使得f(x0)>0成立”等价.
4.下列命题中,正确的是( )
A.命题“任意x∈R,x2-x≤0”的否定是“存在x0∈R,-x0≥0”
B.命题“p且q为真”是命题“p或q为真”的必要不充分条件
C.“若am2≤bm2,则a≤b”的否命题为真
D.若实数x,y∈[-1,1],则满足x2+y2≥1的概率为〚导学号32470406〛
答案:C
解析:A中否定不能有等号;B中命题“p且q为真”是命题“p或q为真”的充分不必要条件;D中概率计算错误,故选C.
5.如果命题“非p或非q”是假命题,给出下列结论:
①命题“p且q”是真命题;②命题“p且q”是假命题;③命题“p或q”是真命题;④命题“p或q”是假命题.其中正确的结论是( )
A.①③ B.②④ C.②③ D.①④
答案:A
解析:“非p或非q”是假命题,则“p且q”为真命题,“p或q”为真命题,从而①③正确.
6.若命题“存在x0∈R,+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,3]
B.(-1,3)
C.(-∞,-1]∪[3,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)〚导学号32470407〛
答案:D
解析:因为命题“存在x0∈R,+(a-1)x0+1<0”等价于+(a-1)x0+1=0有两个不相等的实数根,所以Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3,故选D.
7.(2015湖北,文3)命题“存在x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是( )
A.存在x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1
B.存在x0∉(0,+∞),ln x0=x0-1
C.任意x∈(0,+∞),ln x≠x-1
D.任意x∉(0,+∞),ln x=x-1
答案:C
解析:“存在x0∈M,p(x)”的否定是“任意x∈M,p(x)”.故选C.
8.下列命题的否定为假命题的是( )
A.存在x0∈R,+2x0+2≤0
B.任意一个四边形的四个顶点共圆
C.所有能被3整除的整数都是奇数
D.任意x∈R,sin2x+cos2x=1
答案:D
解析:选项A中,命题的否定是“任意x∈R,x2+2x+2>0”.
由于x2+2x+2=(x+1)2+1>0恒成立,故为真命题;
选项B,C中的命题都是假命题,故其否定为真命题;
而选项D中的命题是真命题,故其否定为假命题,故选D.
9.(2015河北唐山统考)已知命题p:任意x∈R,x3<x4;命题q:存在x0∈R,sin x0-cos x0=-.则下列命题中为真命题的是( )
A.p且q B.(p)且q
C.p且(q) D.(p)且(q)〚导学号32470408〛
答案:B
解析:若x3<x4,则x<0或x>1,∴命题p为假命题;若sin x-cos x=sin=-,则x-+2kπ(k∈Z),即x=+2kπ(k∈Z),∴命题q为真命题,∴(p)且q为真命题.
10.若命题p:关于x的不等式ax+b>0的解集是,命题q:关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集是{x|a<x<b},则在命题“p且q”“p或q”“p”“q”中,是真命题的有 .〚导学号32470409〛
答案:p,q
解析:依题意可知命题p和q都是假命题,所以“p且q”为假、“p或q”为假、“p”为真、“q”为真.
11.若命题p:任意x∈R,关于x的不等式ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,则实数a的取值范围是 .
答案:a≥2
解析:依题意得a+2>0,且Δ=16-4(a+2)(a-1)≤0,解得a≥2.
12.下列结论:
①若命题p:存在x0∈R,tan x0=2;命题q:任意x∈R,x2-x+>0.则命题“p且(q)”是假命题;
②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;
③“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为:“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.
其中正确结论的序号为 .(把你认为正确结论的序号都填上)
答案:①③
解析:在①中,命题p是真命题,命题q也是真命题,故“p且(q)”是假命题是正确的.在②中,l1⊥l2⇔a+3b=0,所以②不正确.在③中,“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为:“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”正确.
能力提升组
13.命题p:函数f(x)=x3-3x在区间(-1,1)内单调递减,命题q:函数f(x)=|sin 2x|的最小正周期为π,则下列命题为真命题的是( )
A.p且q B.p或q
C.p或q D.p且q
答案:C
解析:由f'(x)=3x2-3<0,解得-1<x<1,故函数f(x)=x3-3x在区间(-1,1)内单调递减,即命题p为真命题;函数y=sin 2x的最小正周期为π,则函数f(x)=|sin 2x|的最小正周期为,即命题q为假命题.由于p真、q假,则p为假命题,q为真命题,故p且q为假命题,p或q为真命题,p或q为假命题,p且q为假命题.
14.下列命题中的假命题是( )
A.任意x∈R,21-x>0
B.任意x>0,有ln2x+ln x+1>0
C.存在x0∈R,当x>x0时,恒有1.1x<x4
D.存在α∈R,函数y=xα的图像关于y轴对称〚导学号32470410〛
答案:C
解析:易知A正确;B项,ln2x+ln x+1=,可知B正确;C项,∵y=1.1x为底数大于1的指数函数,y=x4为幂函数,∴当x→+∞时,1.1x-x4→+∞,∴不存在满足条件的x0,C错误;D项,取α=2.可知函数y=x2的图像关于y轴对称,D正确.
15.已知命题p:任意x∈R,2x<3x;命题q:存在x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( )
A.p且q B.(p)且q
C.p且(q) D.(p)且(q)
答案:B
解析:由20=30知,p为假命题.令h(x)=x3-1+x2,
∵h(0)=-1<0,h(1)=1>0,
∴x3-1+x2=0在(0,1)内有解.
∴存在x∈R,x3=1-x2,即命题q为真命题.由此可知只有(p)且q为真命题.故选B.
16.不等式组的解集记为D,有下面四个命题:
p1:任意(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:存在(x,y)∈D,x+2y≥2,
p3:任意(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:存在(x,y)∈D,x+2y≤-1,
其中的真命题是( )
A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3
答案:B
解析:画出可行域如图阴影部分所示.
作直线l0:y=-x,平移l0,当直线经过A(2,-1)时,x+2y取最小值,此时(x+2y)min=0.故p1:任意(x,y)∈D,x+2y≥-2为真.p2:存在(x,y)∈D,x+2y≥2为真.故选B.
17.(2015山东淄博实验中学模拟)设命题p:任意a>0,a≠1,函数f(x)=ax-x-a有零点,则p: .
答案:存在a>0,a≠1,函数f(x)=ax-x-a没有零点
解析:全称命题的否定,把全称量词写成存在量词,同时把结论否定.故p:存在a>0,a≠1,函数f(x)=ax-x-a没有零点.
18.已知命题p:方程x2-mx+1=0有实数解,命题q:x2-2x+m>0对任意x恒成立.若命题q或(p且q)为真,p为真,则实数m的取值范围是 .〚导学号32470411〛
答案:(1,2)
解析:由于p真,所以p假,则p且q假.
又q或(p且q)真,故q真,即命题p假、q真.
命题p假,即方程x2-mx+1=0无实数解,此时m2-4<0,解得-2<m<2;
命题q真,则4-4m<0,解得m>1.
所以所求的m的取值范围是1<m<2.
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