2018版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第5讲两角和与差的正弦余弦和正切理.doc

第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切
一、选择题
1. 已知锐角α满足cos 2α＝cos ，则sin 2α等于(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B．－
C. D．－
解析 由cos 2α＝cos
得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝(cos α＋sin α)
由α为锐角知cos α＋sin α≠0.
∴cos α－sin α＝，平方得1－sin 2α＝.
∴sin 2α＝.
答案 A
2．若＝，则tan 2α等于 (　　)．
A. B．－ C. D．－
解析　＝＝＝，
∴tan α＝2，∴tan 2α＝＝＝－，故选D.
答案　D
3．已知α，β都是锐角，若sin α＝，sin β＝，则α＋β＝ (　　)．
A. B.
C.和 D．－和－
解析　由α，β都为锐角，所以cos α＝＝，cos β＝＝.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝，所以α＋β＝.
答案　A
4．已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为 (　　)．
A. B．－ C. D．－
解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝，∴sin 2θ＝，又0<θ<，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－＝－＝－.
答案　B
5．若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为 (　　)．
A．1 B. C．1或 D．1或10
解析　tan(α＋β)＝1⇒＝＝1⇒lg2a＋lg a＝0，所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或.
答案　C
6．已知cos＋sin α＝，则sin的值是(　　)．
A．－ B. C．－ D.
解析　cos＋sin α＝⇒sin α＋cos α
＝⇒sin＝，
所以sin＝－sin＝－.
答案　C
二、填空题
7．已知cos ＝，α∈，则cos α＝________.
解析 ∵α∈，∴α＋∈，
∴sin ＝.
故cos α＝cos [－]
＝cos cos＋sin sin
＝×＋×＝.
答案
8．设α为锐角，若cos＝，则
sin的值为________．
解析　∵α为锐角且cos＝，
∴α＋∈，∴sin＝.
∴sin＝sin
＝sin 2cos －cos 2sin
＝sincos－
＝××－＝－＝.
答案　
9．函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________．
解析　∵f(x)＝2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋sin，∴f(x)min＝1－.
答案　1－
10．方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的两根为tan A，tan B，且A，B∈，则A＋B＝________.
解析　由题意知tan A＋tan B＝－3a<－6，tan A·tan B＝3a＋1>7，∴tan A<0，tan B<0，
tan(A＋B)＝＝＝1.
∵A，B∈，∴A，B∈，
∴A＋B∈(－π，0)，∴A＋B＝－.
答案　－
三、解答题
11．已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解　(1)f(x)＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．又f＝－1，f＝，f＝1，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.
12．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
解　(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，
即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝.
又2α∈，∴cos 2α＝＝，
∴tan 2α＝＝.
(2)∵β∈，β－∈，sin＝，
∴cos＝，
于是sin 2＝2sincos＝.
又sin 2＝－cos 2β，∴cos 2β＝－，
又2β∈，∴sin 2β＝，
又cos2α＝＝，α∈，
∴cos α＝，sin α＝.
∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝×－×＝－.
13．函数f(x)＝6cos2＋ sin ωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
(1)求ω的值及函数f(x)的值域；
(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值．
解　(1)由已知可得，f(x)＝3cos ωx＋ sin ωx
＝2sin，
又正三角形ABC的高为2，从而BC＝4，
所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝.
函数f(x)的值域为[－2，2]．
(2)因为f(x0)＝，
由(1)有f(x0)＝2sin＝，
即sin＝.
由x0∈，知＋∈，
所以cos＝ ＝.
故f(x0＋1)＝2sin
＝2sin
＝2
＝2×＝.
14．(1)①证明两角和的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
(2)已知cos α＝－，α∈，tan β＝－，β∈，
求cos(α＋β)．
解 (1)证明　①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox轴非负半轴，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.
则P1(1,0)，P2(cos α，sin α)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))．
由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得
[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)．
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
②由①易得，cos＝sin α，
sin＝cos α.
sin(α＋β)＝cos
＝cos
＝coscos(－β)－sinsin(－β)
＝sin αcos β＋cos αsin β.
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
(2)∵α∈，cos α＝－，∴sin α＝－.
∵β∈，tan β＝－，
∴cos β＝－，sin β＝.
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.

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