【第一方案】高三数学一轮复习-第四章-三角函数、解三角形第二节-两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习.doc

第4章 第2节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、选择题(6×5分＝30分)
1．(2011·青岛模拟)sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C. D.
解析：原式＝sin45°·cos15°－cos45°·sin15°＝sin30°＝.
答案：C
2．(2010·岳阳调研)已知sin(45°＋α)＝，则sin2α等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：sin(α＋45°)＝(sinα＋cosα)·＝，
∴sinα＋cosα＝.
两边平方，得1＋sin2α＝.∴sin2α＝－.
答案：B
3．(2011·阳江一模)已知cos(－α)＝，则sin2(α－)－cos(＋α)的值是(　　)
A. B．－
C. D.
解析：sin2(α－)－cos(＋α)
＝1－cos2(－α)＋cos(－α)＝.
答案：A
4．(2010·济宁模拟)已知向量a＝(sin(α＋)，1)，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin(α＋)等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：a·b＝4sin(α＋)＋4cosα－
＝2sinα＋6cosα－＝4sin(α＋)－＝0，
∴sin(α＋)＝.
∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－.
答案：B
5．(2011·舟山二模)已知实数a，b均不为零，＝tanβ，且β－α＝，则等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：tanβ＝tan(α＋)＝＝
＝＝.
∴＝.
答案：B
6．(2011·哈尔滨质检)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：tan(A＋B)＝－tanC＝－tan120°＝，
∴tan(A＋B)＝＝，
即＝，解得tanAtanB＝.
答案：B
二、填空题(3×5分＝15分)
7．(2011·长春二模)若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
解析：∵＝＝3，∴tanα＝2.
又tan(α－β)＝2，故tan(β－α)＝－2.
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝＝.
答案：
8．(2011·宁波模拟)＝________.
解析：＝
＝＝＝2.
答案：2
9．(2010·铜陵模拟)已知sinθ＋cosθ＝，且≤θ≤，则cos2θ的值是________．
解析：(sinθ＋cosθ)2＝，sin2θ＝－，
又≤θ≤π，则π≤2θ≤π，
cos2θ＝－＝－.
答案：－
三、解答题(共37分)
10．(12分)(2011·珠海模拟)化简：
(1)sin(－x)＋cos(－x)；
(2)＋.
解析：(1)原式＝2[sin(－x)＋·cos(－x)]
＝2[sinsin(－x)＋coscos(－x)]
＝2cos(－＋x)
＝2cos(x－)．
(2)原式＝＋

＝＋
＝－－＝－＝－.
11．(12分)已知cos(x－)＝，x∈(，)．
(1)求sinx的值；
(2)求sin(2x＋)的值．
解析：(1)法一：因为x∈(，)，所以x－∈(，)，于是sin(x－)＝＝
sinx＝sin[(x－)＋]
＝sin(x－)cos＋cos(x－)sin
＝×＋×＝.
法二：由题设得cosx＋sinx＝，即cosx＋sinx＝.
又sin2x＋cos2x＝1，从而25sin2x－5sinx－12＝0，
解得sinx＝或sinx＝－.
因为x∈(，)，所以sinx＝.
(2)因为x∈(，)，
故cosx＝－＝－＝－.
sin2x＝2sinxcosx＝－，cos2x＝2cos2x－1＝－.
所以sin(2x＋)＝sin2xcos＋cos2xsin＝－.
12．(13分)若α，β∈(0，π)，cosα＝－，tanβ＝－，求α＋2β的值．
解析：∵cosα＝－，且α∈(0，π)，
∴sinα＝，tanα＝－，
又tanβ＝－，∴tan2β＝＝－，
∴tan(α＋2β)＝＝－1.
由α∈(0，π)，tanα＝－<0，得<α<π.
由β∈(0，π)，tanβ＝－<0，得β∈(，π)．
又2β∈(π，2π)，tan2β＝－<0，
∴<2β<2π，因为2π<α＋2β<3π.∴α＋2β＝π.

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