2022年高考江西卷理科数学试题及答案.docx

2022年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
〔江西卷〕
参考公式：
样本数据〔〕，〔〕，...，〔〕的线性相关系数
其中，
锥体的体积公式 其中为底面积，为高
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．假设，那么复数
A． B． C． D．
2．假设集合，那么
A． B．
C． D．
3．假设，那么的定义域为
A． B． C． D．
4．假设，那么的解集为
A． B． C． D．
5．数列{}的前n项和满足：，且=1．那么=
A．1 B．9 C．10 D．55
6．变量X与Y相对应的一组数据为〔10，1〕，〔11.3，2〕，〔11.8，3〕，〔12.5，4〕，〔13，5〕；变量U与V相对应的一组数据为〔10，5〕，〔11.3，4〕，〔11.8，3〕，〔12.5，2〕，〔13，1〕，表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，那么
A． B． C． D．
7．观察以下各式：=3125，=15625，=78125，…，那么的末四位数字为
A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
8．，，是三个相互平行的平面．平面，之间的距离为，平面，之间的距离为．直线与，，分别相交于，，，那么“=〞是“〞的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．假设曲线：与曲线：有四个不同的交点，那么实数m的取值范围是
A．〔，〕 B．〔，0〕∪〔0，〕
C．[，] D．〔，〕∪〔，+〕
10．如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方
向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小
圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大
致是
第二卷
本卷须知：
第II卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。假设在试题卷上作答，答案无效。
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。
11．,·=-2，那么与的夹角为
12．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，假设此点到圆心的距离大于，那么周末去看电影；假设此点到圆心的距离小于，那么去打篮球；否那么，在家看书，那么小波周末不在家看书的概率为
13．以下列图是某算法的程序框图，那么程序运行后输出的结果是
14．假设椭圆的焦点在轴上，过点〔1，〕作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，那么椭圆方程是
三、选做题：请考生在以下两题中任选一题作答，假设两题都做，那么按所做的第一题评阅计分。此题共5分。
15．〔1〕〔坐标系与参数方程选做题〕假设曲线的极坐标方程为以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，那么该曲线的直角坐标方程为
15．〔2〕〔不等式选做题〕对于实数,假设的最大值为
四、解答题：本大题共6小题，共75分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．〔本小题总分值12分〕
某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，假设4杯都选对，那么月工资定为3500元，假设4杯选对3杯，那么月工资定为2800元，否那么月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
〔1〕求X的分布列；
〔2〕求此员工月工资的期望。
17．〔本小题总分值12分〕
在中，角的对边分别是，．
〔1〕求的值；
〔2〕假设，求边的值．
18．〔本小题总分值12分〕
两个等比数列，满足．
〔1〕假设，求数列的通项公式；
〔2〕假设数列唯一，求的值．
19．〔本小题总分值12分〕
设
〔1〕假设在上存在单调递增区间，求的取值范围；
〔2〕当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．
20．〔本小题总分值13分〕
是双曲线上一点，M,N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM,PN的斜率之积为．
〔1〕求双曲线的离心率；
〔2〕过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足,求的值．
21．〔本小题总分值14分〕
〔1〕如图，对于任一给定的四面体,找出依次排列的四个相互平行的平面，，，，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
〔2〕给定依次排列的四个相互平行的平面，，，，其中每相邻两个平面间的距离都为1，假设一个正四面体的四个顶点满足：，求该正四面体的体积．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
1—5 DBACA 6—10 CDCBA
（1） 假设,那么复数= ( )
A. B. C. D.
答案：D 解析： ，=
（2） 假设集合,那么= ( )
A. B. C. D.
答案：B 解析：
（3） 假设,那么的定义域为 ( )
A. (,0) B. (,0] C. (,) D. (0,)
答案： A 解析：
（4） 假设,那么的解集为 ( )
A. (0,) B. (-1,0)(2,)
C. (2,) D. (-1,0)
答案：C 解析：
（5） 数列的前项和满足:,且,那么 ( )
A. 1 B. 9 C. 10 D. 55
答案：A 解析：
，
（6） 变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4〕，〔11.8,3〕，〔12.5,2〕，〔13,1).表示变量Y与X之间的线性相关系数,表示变量V与U之间的线性相关系数,那么 ( )
A. B. C. D.
答案：C 解析： 第一组变量正相关，第二组变量负相关。
（7） 观察以下各式:那么的末四位数字为 ( )
A.3125 B. 5625 C.0625 D.8125
答案：D
解析：
（8） 是三个相互平行的平面,平面之间的距离为,平面之间的距离为.直线与分别交于.那么是的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案：C
解析：平面平行，由图可以得知：
如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知
如果，同样是根据两个三角形全等可知
（9） 假设曲线与曲线有四个不同的交点,那么实数的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
答案：B 曲线表示以为圆心，以1为半径的圆，曲线表示过定点，与圆有两个交点，故也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应，由图可知，m的取值范围应是
10. 如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方
向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这
样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )
答案：A解析：根据小圆 与大圆半径1：2的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此M点的轨迹是个大圆，而N点的轨迹是四条线，刚好是M产生的大圆的半径。
二、填空题；本大题共4小题，每题5分，共20分。
11． 12． 13．10 14．
15．选做题〔1〕,〔2〕5
11. ，，那么与的夹角为.
答案：〔〕 解析：根据条件，去括号得：，
〔PS：这道题其实2022年湖南文科卷的第6题翻版过来的，在我们寒假班的时候也讲过一道类似的，在文科讲义72页的第2题。 此题纯属送分题！〕
12. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，假设 此点到圆心的距离大于，那么周末去看电影；假设此点到圆心的距离小于，那么去打篮球；否那么，在家看书.那么小波周末不在家看书的概率为.
答案： 解析：方法一：
不在家看书的概率=
方法二：不在家看书的概率=1—在家看书的概率=1—

13.以下列图是某算法程序框图，那么程序运行后输出的结果是__________.
解析：s=0,n=1;带入到解析式当中，s=0+(-1)+1=0，n=2;
s=0+1+2=3, n=3;
S=3+(-1)+3=5, n=4;
S=5+1+4=10,此时s>9,输出。
〔PS:此题实质是2022江苏理科卷第7题得翻版，同时在我们寒假题海班，理科讲义的第200页的第6题也讲过相似的。所以童鞋们再次遇到，应该也是灰常熟悉的。并且框图本来就是你们的拿手菜，所以最对也不觉奇怪。〕
14. 假设椭圆的焦点在x轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，那么椭圆方程是.
答案： 解析：设过点〔1，〕的直线方程为：当斜率存在时，，
根据直线与圆相切，圆心〔0,0〕到直线的距离等于半径1可以得到k=,直线与圆方程的联立可以得到切点的坐标〔〕，当斜率不存在时，直线方程为：x=1，根据两点A：〔1,0〕，B：〔〕可以得到直线：2x+y-2=0,那么与y轴的交点即为上顶点坐标〔2,0〕，与x轴的交点即为焦点，根据公式，即椭圆方程为：
〔PS:此题可能算是填空题，比较纠结的一道，因为要理清思路，计算有些繁琐。但是，是不是就做不出来呢，不是的，在我们寒假题海班的时候讲过一道与此相似的题型，也就在理科教材第147页第23题。所以最纠结的一道高考题也不过如此，你们还怕什么〕
15选做题
〔1〕〔坐标系与参数方程选做题〕假设曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，那么改曲线的直角坐标方程为.
答案：。解析：做坐标系与参数方程的题，大家只需记住两点：1、，2、即可。根据=
所以解析式为：
1 (2)(不等式选择题〕对于实数x，y，假设，，那么的最大值为.
（2） 此题，看似很难，但其实不难，首先解出x的范围，，再解出y的范围，，最后综合解出x-2y+1的范围，那么绝对值最大，就去5
〔PS: 此题作为最后一题，有失最后一题的分量，大家从解题步骤就可看出。所以高考注重的还是根底+根底！〕
四、解答题：本大题共6小题，共75分。
16．〔本小题总分值12分〕
解：〔1〕X的所有可能取值为：0，1，2，3，4
即
X
0
1
2
3
4
P

〔2〕令Y表示新录用员工的月工资，那么Y的所有可能取值为2100，2800，3500
所以新录用员工月工资的期望为2280元.
17．〔本小题总分值12分〕
解：〔1〕由得
即
由
同边平方得：
〔2〕由，
即
由
由余弦定理得
18．〔本小题总分值12分〕
〔1〕设的公比为q，那么
由成等比数列得
即
所以的通项公式为
〔2〕设的公比为q，那么由
得
由，故方程〔*〕有两个不同的实根
由唯一，知方程〔*〕必有一根为0，代入〔*〕得
19．〔本小题总分值12分〕
解：〔1〕由
当
令
所以，当上存在单调递增区间
〔2〕令
所以上单调递减，在上单调递增
当在[1，4]上的最大值为
又
所以在[1，4]上的最小值为
得，从而在[1，4]上的最大值为
20．〔本小题总分值13分〕
解：〔1〕点在双曲线上，
有
由题意又有
可得
〔2〕联立设
那么………………〔1〕
设
又C为双曲线上一点，即
有
化简得：…………〔2〕
又在双曲线上，所以
由〔1〕式又有
得：
21．〔本小题总分值14分〕
〔1〕如下列图，取A1A4的三等分点P2，P3，A1A3的中点M，
A2A4的中点N，过三点A2，P2，M作平面，过三点A3，
P3，N作平面，因为A2P2//NP3，A3P3//MP2，所以平面
//平面，再过点A1，A4分别作平面与平面
平行，那么四个平面依次相互平行，由线段
A1A4被平行平面截得的线段相等知，其中
每相邻两个平面间的距离相等，故为所求平面。
〔2〕解法一：当〔1〕中的四面体为正四面体，假设所得的四个平行平面，每相邻两平面之间的距离为1，那么正四面体A1A2A3A4就是满足题意的正四面体，设正四面体的棱长为a，以△A2A3A4的中心O为坐标原点，以直线A4O为y轴，直线OA1为z轴建立如图的右手直角坐标系，
令P2，P3为A1A4的三等分点，N为A2A4的中点，有
设平面A3P3N的法向量
有
所以，
因为相邻平面之间的距离为1，所以点A4到平面A3P3N的距离
解得，由此可得，边长为的正四面体A1A2A3A4满足条件。
所以所求正四面体的体积
解法二：如图，现将此正四面体A1A2A3A4置于一个正方体ABCD—A1B1C1D1中，〔或者说，在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角三棱锥，得到一个正方体〕，E1，F1分别是A1B1，C1D1的中点，EE1D1D和BB1F1F是两个平行平面，假设其距离为1，那么四面体A1A2A3A4即为满足条件的正四面体。右图是正方体的上底面，现设正方体的棱长为a，假设A1M=MN=1，那么有
据A1D1×A1E1=A1M×D1E1，得，
于是正四面体的棱长
其体积
〔即等于一个棱长为a的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积〕
本大题共6小题，共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 〔本小题总分值12分〕
某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.假设4杯都选对，那么月工资定为3500元；假设4杯选对3杯，那么月工资定为2800元；否那么月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
（1） 求X的分布列；
（2） 求此员工月工资的期望.
解答：〔1〕选对A饮料的杯数分别为，，，，，
其概率分布分别为： ，，，，。
〔2〕。
17. 〔本小题总分值12分〕
在△ABC中，角的对边分别是，.
（1） 求的值；
（2） 假设，求边的值.
解：〔1〕
整理即有：
又C为中的角，
〔2〕
又，
18. 〔本小题总分值12分〕
两个等比数列，，满足.
（1） 假设=1，求数列的通项公式；
（2） 假设数列唯一，求的值.
.解：〔1〕当a=1时，，又为等比数列，不妨设公比为，由等比数列性质知： ，同时又有所以：
〔2〕要唯一，当公比时，由且，
，最少有一个根〔有两个根时，保证仅有一个正根〕
，此时满足条件的a有无数多个，不符合。
当公比时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由，可推得符合
综上：。
19. 〔本小题总分值12分〕
设
（1） 假设在上存在单调递增区间，求的取值范围；
（2） 当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.
解：〔1〕，，函数在上存在单调递增区间，即导函数在上存在函数值大于零的局部，
〔2〕0<a<2,在上取到最小值，而的图像开口向下，且对轴，
那么必有一点使得此时函数在上单调递增，在单调递减，，
此时，由，所以函数
20. 〔本小题总分值13分〕
是双曲线：上一点，分别是双曲线的左、右定点，直线的斜率之积为.
（1） 求双曲线的离心率；
（2） 过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为双曲线上的一点，满足，求的值.
解：〔1〕双曲线E：，在双曲线上，M，N分别为双曲线E的左右顶点，所以，，直线PM，PN斜率之积为
而，比较得
〔2〕设过右焦点且斜率为1的直线L：，交双曲线E于A，B两点，那么不妨设，又，点C在双曲线E上：
*〔1〕
又 联立直线L和双曲线E方程消去y得：
由韦达定理得：，代入〔1〕式得：
21. 〔本小题总分值14分〕
〔1〕如图，对于任一给定的四面体，找出依
次排列的四个相互平行的平面 ，使
得〔i=1,2,3,4〕，且其中每相邻两个平面间
的距离都相等；
〔2〕给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离为1，假设一个正四面体的四个顶点满足：〔i=1,2,3,4〕，求该正四面体的体积.
解：
〔1〕将直线三等分，其中另两个分点依次为,连接,作平行于的平面，分别过，即为。同理，过点作平面即可的出结论。
〔2〕现设正方体的棱长为a,假设，，
，由于得，，
那么，正四面体的棱长为，其体积为〔即一个棱长为a的正方体割去四个直角三棱锥后的体积〕