资源描述
第二节 等差数列及其前n项和
A级·根底过关|固根基|
1.(一题多解)(2023届开封市高三定位考试)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，那么数列{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 解法一：设等差数列{an}的公差为d，那么由题意，得解得应选B.
解法二：设等差数列{an}的公差为d，因为S4＝＝2(a1＋a5－d)＝2(10－d)＝16，所以d＝2，应选B.
2．(一题多解)(2023届沈阳质量监测)在等差数列{an}中，假设Sn为前n项和，2a7＝a8＋5，那么S11的值是( )
A．55 B．11
C．50 D．60
解析：选A 解法一：设等差数列{an}的公差为d，由题意可得2(a1＋6d)＝a1＋7d＋5，得a1＋5d＝5，那么S11＝11a1＋d＝11(a1＋5d)＝11×5＝55，应选A.
解法二：设等差数列{an}的公差为d，由2a7＝a8＋5，得2(a6＋d)＝a6＋2d＋5，得a6＝5，所以S11＝11a6＝55，应选A.
3．数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，假设ak·ak＋1<0，那么正整数k＝( )
A．21 B．22
C．23 D．24
解析：选C 由3an＋1＝3an－2⇒an＋1＝an－⇒数列{an}是以15为首项，－为公差的等差数列，那么an＝－n.因为ak·ak＋1<0，所以<0，所以<k<，所以k＝23.
4．(2023届四川三地四校联考)在等差数列{an}中，a1＝－2 015，其前n项和为Sn，假设－＝2，那么S2 018＝( )
A．2 018 B．－2 018
C．4 036 D．－4 036
解析：选C 设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，那么＝An＋B，所以是等差数列．因为－＝2，所以的公差为1，又＝＝－2 015，所以是以－2 015为首项，1为公差的等差数列，所以＝－2 015＋2 017×1＝2，所以S2 018＝4 036.应选C.
5．据科学计算，运载火箭点火1分钟内通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船别离，那么这一过程大约需要的时间是( )
A．10分钟 B．13分钟
C．15分钟 D．20分钟
解析：选C 由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以a1＝2为首项，公差d＝2的等差数列，n分钟内通过的路程Sn＝2n＋×2＝n2＋n＝n(n＋1)，经检验n＝15时，S15＝240 km，应选C.
6．等差数列{an}的公差d≠0，且a3＋a9＝a10－a8.假设an＝0，那么n＝________．
解析：因为a3＋a9＝a10－a8，
所以a1＋2d＋a1＋8d＝a1＋9d－(a1＋7d)，
解得a1＝－4d，
所以an＝－4d＋(n－1)d＝(n－5)d.
令(n－5)d＝0(d≠0)，解得n＝5.
答案：5
7．(2023届广东广州联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，假设am＝4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*)，那么a2 017＝________．
解析：由题意得设等差数列{an}的公差为d.
解得所以an＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，
所以a2 017＝2×2 017－6＝4 028.
答案：4 028
8．(2023届重庆适应性测试二)设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，那么S100＝________．
解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.
答案：200
9．(2023届长春市质量检测二)数列{an}的通项公式为an＝2n－11.
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)令bn＝|an|，求数列{bn}的前10项和S10.
解：(1)证明：由an＝2n－11，可得an＋1－an＝2(n＋1)－11－2n＋11＝2(n∈N*)，因此数列{an}为等差数列．
(2)因为an＝2n－11，所以|an|＝设{an}的前n项和为Tn，
因此，S10＝T10－2T5＝－2×＝50.
10．等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)数列{bn}满足bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
解：(1)设该等差数列为{an}，公差为d，那么a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列．
所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，
那么bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，又b1＝1＋1＝2，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn＝＝.
B级·素养提升|练能力|
11.(2023届西安市八校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，假设S6>S7>S5，那么满足SnSn＋1<0的正整数n的值为( )
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：选C 由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7<S6，S7＝S5＋a6＋a7>S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝＝13a7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足SnSn＋1<0的正整数n的值为12，应选C.
12．(2023届山西太原模拟)数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，等差数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，那么以下结论正确的选项是( )
A．Sn<2Tn B．b4＝0
C．T7>b7 D．T5＝T6
解析：选D 因为点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，所以Sn＝n2－10n，易得an＝2n－11.又bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，数列{bn}为等差数列，设公差为d，因为a1＝－9，a2＝－7，所以2b1＋d＝－9，2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，所以bn＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，应选D.
13．数列{an}满足：a3＝－13，an＝an－1＋4(n>1，n∈N*)．
(1)求a1，a2及通项公式an；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，那么数列S1，S2，S3，…中哪一项最小？
解：(1)因为数列{an}满足a3＝－13，an＝an－1＋4，
所以an－an－1＝4，
即数列{an}为等差数列且公差为d＝4，
所以a2＝a3－d＝－13－4＝－17，
a1＝a2－d＝－17－4＝－21，
所以通项公式an＝a1＋(n－1)d＝－21＋4(n－1)＝4n－25.
(2)令an＝4n－25≥0，解得n≥，
所以数列{an}的前6项为负值，从第7项开始为正数，
所以数列S1，S2，S3，…中S6最小．
14．(2023届洛阳市第一次统一考试)数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．
(1)求a2的值并证明：an＋2－an＝2；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)令n＝1，得2a1a2＝4S1－3＝4a1－3，
又a1＝1，所以a2＝.
证明：2anan＋1＝4Sn－3，①
2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.②
②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1.
因为an≠0，所以an＋2－an＝2.
(2)由(1)可知，数列a1，a3，a5，…，a2k－1，…为等差数列，公差为2，首项为1，
所以a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，即当n为奇数时，an＝n.
由(1)可知，数列a2，a4，a6，…，a2k，…为等差数列，公差为2，首项为，
所以a2k＝＋2(k－1)＝2k－，
即当n为偶数时，an＝n－.
综上所述，an＝
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