2023版高考数学一轮复习核心素养测评九幂函数与二次函数理北师大版.doc

核心素养测评九 幂函数与二次函数
(25分钟　50分)
一、选择题(每题5分,共35分)
1.幂函数f(x)=(n2+2n-2)(n∈Z)的图像关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,那么n的值为 (　　)
A.-3 B.1 C.2 D.1或2
【解析】选B.由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1符合题意.
2.(2023·成都模拟)幂函数f(x)=xα,当x>1时,恒有f(x)<x,那么α的取值范围是 (　　)
A.(0,1) B.(-∞,1)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)
【解析】选B.当x>1时,恒有f(x)<x,即当x>1时,函数f(x)=xα的图像在y=x的图像的下方,由幂函数的图像与性质可判断α<1时满足题意.
3.(2023·合肥模拟)函数f(x)=x2-2x+4在区间[0,m](m>0)上的最大值为4,最小值为3,那么实数m的取值范围是 (　　)
A.[1,2] B.(0,1]
C.(0,2] D.[1,+∞)
【解析】选A.作出函数的图像如下图,从图中可以看出当1≤m≤2时,函数f(x)=x2-2x+4在区间[0,m](m>0)上的最大值为4,最小值为3.
4.(2023·淮安模拟)点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图像上,设a=f,b=f(ln π),c=f,那么a,b,c的大小关系为 (　　)
A.c<a<b B.a<b<c
C.b<c<a D.b<a<c
【解析】选A.根据题意,m-1=1,所以m=2,所以2n=8,所以n=3,所以f(x)=x3.
因为f(x)=x3是定义在R上的增函数,又-<0<<=1<ln π,所以c<a<b.
5.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是 (　　)
【解析】选D.由A,C,D知,f(0)=c<0.因为abc>0,所以ab<0,所以对称轴x=->0,知A、C错误,D符合要求.由B知f(0)=c>0,所以ab>0,所以x=-<0,B错误.
6.(2023·南昌模拟)正实数a,b,c满足loga2=2,log3b=,c6=,那么a,b,c的大小关系是 (　　)
A.a<b<c B. a<c<b
C.c<b<a D. b<a<c
【解析】选B.由题得a2=2,所以a6=8,b=,所以b6=32=9,因为8<<9,a,b,c都是正数,所以a<c<b.
7.(2023·西安模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图像的一局部,图像过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:
①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.
其中正确的选项是 (　　)
A.②④ B.①④ C.②③ D.①③
【解析】选B.因为图像与x轴交于不同的两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确.对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误.结合图像,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误.由对称轴为x=-1知,b=2a.又函数图像开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确.
二、填空题(每题5分,共15分)
8.假设幂函数y=mxn(m,n∈R)的图像经过点,那么n=________________. 
【解析】由题意可得
解得n=-.
答案:-
9.假设f(x)=xα是幂函数,且满足=3,那么f()=________________. 
【解析】因为f(x)=xα,那么有=3,解得2α=3,α=log23,
所以f=====.
答案:
10.函数f(x)=其中c>0.那么f(x)的零点是________________;假设f(x)的值域是,那么c的取值范围是________________.  
【解析】当0≤x≤c时,由=0得x=0.当-2≤x<0时,由x2+x=0,得x=-1,所以函数f(x)的零点为-1和0.当0≤x≤c时,f(x)=,所以0≤f(x)≤;当-2≤x<0时,f(x)=x2+x=-,所以此时-≤f(x)≤2.假设f(x)的值域是,那么有≤2,即0<c≤4,即c的取值范围是(0,4].
答案:-1和0　(0,4]
(15分钟　35分)
1.(5分)(2023·南昌模拟)幂函数f(x)=(n2+2n-2)·(n∈Z)的图像关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减少的,那么n的值为 (　　)
A.-3 B.1 C.2 D.1或2
【解析】选B.由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,当n=1时,函数f(x)=为偶函数,其图像关于y轴对称,且f(x)在(0,+∞)上是减少的,所以n=1满足题意;当n=-3时,函数f(x)=x18为偶函数,其图像关于y轴对称,而f(x)在(0,+∞)上是增加的,所以n=-3不满足题意,舍去.
2.(5分)函数f(x)=ax2+bx+c,且a>b>c,a+b+c=0,集合A={m|f(m)<0},那么
(　　)
A.∀m∈A,都有f(m+3)>0
B.∀m∈A,都有f(m+3)<0
C.∃m∈A,使得f(m+3)=0
D.∃m∈A,使得f(m+3)<0
【解析】选A.由a>b>c,a+b+c=0可知a>0,c<0,且f(1)=0,f(0)=c<0,
即1是方程ax2+bx+c=0的一个根,
当x>1时,f(x)>0.由a>b,得1>,
设方程ax2+bx+c=0的另一个根为x1,
那么x1+1=->-1,即x1>-2,
由f(m)<0可得-2<m<1,所以1<m+3<4,
结合抛物线图像可知,f(m+3)>0.
3.(5分)(2023·抚州模拟)假设对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,那么a的取值范围是________________. 
【解析】因为对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,函数y=x3在R上单调递增,所以3x+a≤2x在x∈[a,a+2]上恒成立,即x+a≤0,所以a+2+a≤0,得到a≤-1.
答案:(-∞,-1]
4.(10分)函数y=F(x)的图像如下图,该图像由指数函数f(x)=ax与幂函数g(x)=xb“拼接〞而成.
(1)求F(x)的解析式.
(2)比拟ab与ba的大小.
(3)假设(m+4)-b<(3-2m)-b,求m的取值范围.
【解析】(1)依题意得解得
所以F(x)=
(2)因为ab==,ba=,指数函数y=单调递减,所以<,即ab<ba.
(3)由(m+4<(3-2m,
得解得-<m<,
所以m的取值范围是.
【变式备选】
函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值.
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.
【解析】(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5],
所以当x=1时,f(x)取得最小值1;
当x=-5时,f(x)取得最大值37.
(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图像的对称轴为直线x=-a,
因为y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,
所以-a≤-5或-a≥5,即a≤-5或a≥5.
故实数a的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).
5.(10分)函数f(x)=(k∈Z)满足f(2)<f(3).
(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式.
(2)对于(1)中得到的函数f(x),试判断是否存在q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为?假设存在,求出q;假设不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为f(2)<f(3),所以f(x)在第一象限是增函数.故-k2+k+2>0,解得-1<k<2.
又因为k∈Z,所以k=0或k=1.
当k=0或k=1时,-k2+k+2=2,所以f(x)=x2.
(2)假设存在q满足题设,由(1)知g(x)=-qx2+(2q-1)x+1,x∈[-1,2].
因为g(2)=-1,所以两个最值点只能在端点(-1,g(-1))和顶点处取得.
①当q>0时,因为-g(-1)=-(2-3q)
=≥0,所以g(x)max==,
g(x)min=g(-1)=2-3q=-4.解得q=2.
②当q<0时,g(x)max=g(-1)=2-3q=,
g(x)min==-4,q不存在.
综上所述,存在q=2满足题意.
- 6 -