2018年高考文科数学全国卷3-答案.doc

2018年普通高等学校招生全国统一考试课标全国卷III
文科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】C
【解析】∵，，∴，故选C.
【考点】集合的运算
2.【答案】D
【解析】，故选D.
【考点】复数的运算
3.【答案】A
【解析】两木构件咬合成长方体时，榫头完全进入卯眼，易知咬合时带卯眼的木构件的俯视图为A，故选A.
【考点】空间几何体的三视图
4.【答案】B
【解析】因为，，所以.故选B.
【考点】三角恒等变换
5.【答案】B
【解析】设事件为“不用现金支付”，事件为“既用现金支付也用非现金支付”，事件为“只用现金支付”，则.故选B.
【考点】互斥事件，对立事件的概率
6.【答案】C
【解析】解法1：定义域为，，∴的最小正周期.
解法二：，∴是的周期，，而，∴，
∴不是的周期，∴也不是的周期，故选C.
【考点】三角函数的周期
7.【答案】B
【解析】解法一：图象上的点关于直线的对称点是它本身，则点在关于直线对称的图像上，结合选项可知，正确.故选B.
解法二：设是所求函数图象上任一点，则关于直线的对称点，在函数图象上，∴.故选B.
【考点】函数图象的对称性
8.【答案】A
【解析】圆心到直线的距离为，圆的半径为，设点到直线的距离为，
则，，
又易知，，∴，
∴，
.
∴面积的取值范围是.故选A.
9.【答案】D
【解析】令，则，
当或时，，递增；
当或时，，递减.由此可得的图像大致为中的图像.故选D.
【考点】函数图象的识辨
10.【答案】D
【解析】∵，且，，∴，
∴的渐近线方程为，
∴点到的渐近线的距离为.
【考点】双曲线的几何性质及点到直线的距离公式
11.【答案】C
【解析】因为，且，
所以，
所以，又，
所以.故选C.
12.【答案】B
【解析】设等边的边长为，则有，解得.设外接圆的半径为，则，解得，则球心到平面的距离为，所以点到平面的最大距离为，所以三棱锥体积最大值为，故选B.
【考点】空间几何体的体积及与球有关的切接问题
第Ⅱ卷
二、填空题
13.【答案】
【解析】由题意得，因为，，所以，解得.
14.【答案】分层抽样
【解析】因为不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以根据三种抽样方法的特点可知最合适的抽样方法是分层抽样.
【考点】抽样方法
15.【答案】3
【解析】解法一：根据约束条件作出可行域，如图所示.

可化为.
求的最大值可转化为求直线纵截距的最大值，显然当直线过时，纵截距最大，故.
解法二：画出可行域(如上图)，由图可知可行域为三角形区域，易求得顶点坐标分别为，，，将三点坐标代入，可知.
【考点】简单的线性规划
16.【答案】
【解析】易知的定义域为，令，
则，∴为奇函数，
∴，又，∴.
【考点】函数的奇偶性
三、解答题
17.【答案】(1)或
(2)
【解析】(1)设的公比为，由题设得.
由已知得，解得(舍去)或或.
故或.
(2)若，则.
由得，此方程没有正整数解.
若，则.由得，解得.
综上，.
【考点】等比数列的通项公式、前项和公式
18.【答案】(1) 第二种生产方式的效率更高. 理由如下：
(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.
(2) 由茎叶图知.
列联表如下：

超过
不超过
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
(3)由于，所以有的把握认为两种生产方式的效率有差异.
【解析】(1)根据茎叶图中的数据大致集中在哪个茎，作出判断；
(2)通过茎叶图确定数据的中位数，按要求完成列联表；
(3)根据（2）中列联表，将有关数据代入公式计算得的值，借助临界值表作出统计推断.
【考点】统计图表的含义及应用，独立性检验的基本思想及其应用

19.【答案】(1)由题设知，平面平面，交线为.
因为，平面，所以平面，故.
因为为上异于，的点，且为直径，所以.
又，所以平面.
而平面，故平面平面.
(2)当为的中点时，平面.
证明如下：连结交于.因为为矩形，所以为中点.
连结，因为为中点，所以.
平面，平面，所以平面.
【解析】（1）通过观察确定点或直线的位置（如中点、中线），再进行证明.
（2）把要得的平行当作已知条件，用平行的性质去求点、线.
【考点】本题考查平面与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行的判定与性质.
20.【答案】(1)设，，则，.
两式相减，并由得
.
由题设知，，于是.
由题设得，故.
(2)由题意得.设，则.
由(1)及题设得，.
又点在上，所以，
从而，.
于是.
同理.
所以.故.
【解析】本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系.
21.【答案】(1)，.
因此曲线在点处的切线方程是.
(2)当时，.
令，则.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以.因此.
【解析】构造函数证明不等式的策略：
（1）转化为（为常数）型，证明或临界值大于或等于.
（2）转化为型，利用导数判断，的单调性，是而求出函数，的最值或临界值，用原不等式成立的充分条件证明.
（3）转化为型，构造函数，利用单调性及的大小证明.
【考点】导数的几何意义，导数的综合应用
22.【答案】(1)的直角坐标方程为.
当时，与交于两点.
当时，记，则的方程为.
与交于两点当且仅当，解得 或，即或.
综上，的取值范围是.
(2)的参数方程为为参数，.
设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足.
于是，.
又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是为参数，.
【解析】以角为参数的参数方程，一般利用三角函数的平方关系化为普通方程；而弦的中点问题常用根与系数的关系或“点差法”进行整体运算求解.
【考点】参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系
23.【答案】(1)的图象如图所示.

(2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为.
【解析】(1)的图象如图所示.

(2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为.
【考点】含绝对值不等式的解法，函数图象
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