2018年高考文科数学(全国3卷)试题及答案.doc

2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(3)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则A∩B＝
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．(1＋i)(2－i)＝
A．－3－i B．－3＋i C．3－i D．3＋i
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的突出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木结构咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木结构的俯视图可以是

A． B． C． D．

4．若，则
A． B． C． D．
5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
6．函数的最小正周期为
A． B． C． D．
7．下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A． B． C． D．
8．直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
9．函数的图像大致为

A．
10．已知双曲线C：离心率为，则点到C的渐近线的距离为
A． B．2 C． D．
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则
A． B． C． D．
12．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，．若∥，则__________.
14．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是__________.
15．若变量x，y满足约束条件则的最大值是__________.
16．已知函数，，则__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分） 等比数列中，，．
（1）求的通项公式； （2）记为的前n项和．若，求m．
18．（12分）
某工厂为提高生产效率，开发技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
第一种生产方式

第二种生产方式
8
6
5 5 6 8 9
9 7 6 2
7
0 1 2 2 3 4 5 6 6 8
9 8 7 7 6 5 4 3 3 2
8
1 4 4 5
2 1 1 0 0
9
0
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率最高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

超过m
不超过m
第一种生产方式

第二种生产方式

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
附：，
19．（12分）
如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是弧上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

20．（12分）
已知斜率为k的直线l与椭圆C：交于A，B两点，线段AB的中点为．
（1）证明：；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且，证明：.

21.（12分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）画出的图像：
（2）当时，≤ax＋b，求a＋b的最小值．

文科数学试题参考答案
一、选择题
1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．C
7．B 8．A 9．D 10．D 11．C 12．B
二、填空题
13． 14．分层抽样 15．3 16．－2
三、解答题
17．解：
（1）设的公比为q，由题设得．
由已知得，
解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．
由得，此方程没有正整数解．
若，则．
由得，解得．
综上，．
18．解：
（1）第二种生产方式的效率更高。
理由如下：
（ⅰ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高。
（ⅱ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高。
（ⅲ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟．因此第二种生产方式的效率更高。
（ⅳ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高。
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
（2）由茎叶图知．
列联表如下：

超过m
不超过m
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
（3）由，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
19．解：
（1）由题设如，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．
因为BC⊥CD，BCÌ面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．
因为M是弧上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．
又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．
而DMÌ平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．
（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．
证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．
MCË平面PBD，OPÌ平面PBD，所以MC∥平面PBD．
20．解：
（1）设，，则，．两式相减，并由得
．
由题设知，，
由题设得，故．
（2）由题意得．设，则
．
有（1）及题设得 ，．
又P在C上，所以，从而，．
于是
．
同理．
所以．
故．
21．解：
（1），．
因此曲线在点处的切线方程是
．
（2）当时，．
令，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以．
因此．
22．解：
（1）⊙O的直角坐标方程为．
当时，l与⊙O交于两点．
当时，记，则直线l的方程为．l与⊙O交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上，的取值范围是．
（2）l的参数方程为（t为参数，）．
设A，B，P对应的常数分别为，则，且满足
．
于是．又点P的坐标满足

所以点P的轨迹的参数方程是
（α为参数，）．
23．解：
（1）
的图像如图所示．
（2）由（1）知，的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5．