2023版高考数学一轮复习第九章立体几何9.7.1利用空间向量求线线角与线面角练习理北师大版.doc

9.7.1 利用空间向量求线线角与线面角
核心考点·精准研析
考点一　异面直线所成的角 
1.(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 (　　)
A. B. C. D.
2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为 (　　)
A. B. C. D.
3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,AC=1,AA1=2,∠BAC=90°,若AB1与直线A1C的夹角的余弦值是,则棱AB的长度是________________. 
4.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,=λ,若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为,则λ的值为________________.
【解析】1.选C.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,),B1(1,1,),
所以=(-1,0,),=(1,1,),设异面直线AD1与DB1所成角为α,
则cos α=|cos􀎮,􀎯|==.
2.选C.建立如图所示空间直角坐标系.
设BC=CA=CC1=2,则可得A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以=(1,-1,2),=(-1,0,2).
所以cos<,>==
=
=.
3.如图建立空间直角坐标系.设AB=a,则A(0,0,0),B1(a,0,2),A1(0,0,2),
C(0,1,0),所以=(a,0,2),=(0,1,-2),所以
===,解得a=1,所以棱AB的长度是1.
答案:1
4.以D为原点,以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,正方体的棱长为2,则A1,D1,E,A ,
所以=,=+=+λ=+
λ=,所以cos<,>===
,解得λ=(λ=-舍去).
答案:
　求异面直线所成的角的两个关注点
(1)用向量方法求两条异面直线所成的角,
是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的.
(2)由于两异面直线所成角的范围是θ∈0,,两方向向量的夹角α的范围是(0,π),所以要注意二者的区别与联系,应有cos θ=|cos α|.
【解析】选C.由于∠BCA=90°,三棱柱为直三棱柱,且BC=CA=CC1,可将三棱柱补成正方体.
建立如图所示空间直角坐标系.
设正方体棱长为2,则可得A(0,0,0),B(2,2,0),M(1,1,2),N(0,1,2),
所以=(-1,-1,2),=(0,1,2).
所以cos<,>=
===.
考点二　直线与平面所成的角 
【典例】(2018·全国卷Ⅰ)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.
(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD.
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
【解题导思】
序号
联想解题

(1)要证面面垂直,先想到判定定理
(2)要求线面角,考虑用向量法,想到如何建立空间坐标系.
【解析】(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,PF∩EF=F,
所以BF⊥平面PEF.
又BF平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)方法一:作PH⊥EF,垂足为H.
由(1)得,PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,设正方形ABCD的边长为2,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.
由(1)可得,DE⊥PE.
又DP=2,DE=1,所以PE=.
又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.
可得PH=,EH=.
则H(0,0,0),P,D,=,=为平面ABFD的一个法向量.
设DP与平面ABFD所成角为θ,
则sin θ===.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
方法二:因为PF⊥BF,BF∥ED,所以PF⊥ED,
又PF⊥PD,ED∩DP=D,所以PF⊥平面PED,
所以PF⊥PE,
设AB=4,则EF=4,PF=2,所以PE=2,
过P作PH⊥EF交EF于H点,
由平面PEF⊥平面ABFD,
所以PH⊥平面ABFD,连接DH,
则∠PDH即为直线DP与平面ABFD所成的角,
由PE·PF=EF·PH,所以PH==,
因为PD=4,所以sin∠PDH==,
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
　利用向量法求线面角的方法
　(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);
(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.
如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,∠BAD=120°,AB=2,E,F分别为CD,AA1的中点.
(1)求证:DF∥平面B1AE.
(2)若AA1⊥底面ABCD,且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值为,求AA1的长.
【解析】(1)设G为AB1的中点,连接EG,GF,
因为FG􀱀A1B1,又DE􀱀A1B1,
所以FG􀱀DE,所以四边形DEGF是平行四边形,
所以DF∥EG,又DF⊈平面B1AE,EG⫋平面B1AE,所以DF∥平面B1AE.
(2)因为ABCD是菱形,且∠ABC=60°,所以△ABC是等边三角形.取BC中点M,则AM⊥AD,因为AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AM,AA1⊥AD,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,令AA1=t(t>0),
则A(0,0,0),E,,0,B1(,-1,t),D1(0,2,t),
=,,0, =(,-1,t),=(0,2,t),
设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z),
则n·=(x+y)=0且n·=x-y+tz=0,取n=(-t,t,4),设直线AD1与平面B1AE所成角为θ,则sin θ===,解得t=2,故线段AA1的长为2.