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压轴题(一)
12．设P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦点，c，e分别表示该双曲线的半焦距和离心率．若·＝0，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆的半径为( )
A．a B．b
C．c D．e
答案 A
解析 因为·＝0，所以△AF1P是直角三角形．设△AF1P的内切圆的半径是r，则2r＝|PF1|＋|PA|－|AF1|＝|PF1|＋|PA|－|AF2|＝|PF1|－(|AF2|－|PA|)＝|PF1|－|PF2|＝2a.所以r＝a.
16．(2019·湘赣十四校联考二)已知函数f(x)＝sinx＋2cosx的图象向右平移φ个单位长度得到g(x)＝2sinx＋cosx的图象，若x＝φ为h(x)＝sinx＋acosx的一条对称轴，则a＝________.
答案
解析 由题意，得f(x)＝sin(x＋α)，其中sinα＝，cosα＝.g(x)＝sin(x＋β)，其中sinβ＝，cosβ＝，
∴α－φ＝β＋2kπ，即φ＝α－β－2kπ，
∴sinφ＝sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝，
cosφ＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，
又x＝φ是h(x)＝sinx＋acosx的一条对称轴，
∴h(φ)＝sinφ＋acosφ＝＋a＝±，
即a＝.
20．已知函数f(x)＝(x2＋2aln x)．
(1)讨论f(x)＝(x2＋2aln x)，x∈(1，e)的单调性；
(2)若存在x1，x2∈(1，e)(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)<0成立，求a的取值范围．
解 (1)由f(x)＝(x2＋2aln x)，得
f′(x)＝x＋＝(x>0)，
当a≥0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在(1，e)上单调递增；
当a<0时，f′(x)＝0的解为x＝(舍负)，
若≤1，即a∈[－1,0)，则f(x)在(1，e)上单调递增；
若≥e，即a∈(－∞，－e2]，
则f(x)在(1，e)上单调递减；
若a∈(－e2，－1)，则f(x)在(1，)上单调递减，在[，e)上单调递增．
(2)由(1)可知，当a≤－e2或a≥－1时，函数f(x)在(1，e)上为单调函数，此时不存在x1，x2∈(1，e)(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)<0.
当a∈(－e2，－1)时，f(x)在(1，]上单调递减，在[，e)上单调递增，所以f(x)在x＝处取得极小值，
f(x)极小值＝f()＝(－a＋2aln )＝－a＋aln (－a)，其中a∈(－e2，－1)，
令g(a)＝－a＋aln (－a)，a∈(－e2，－1)，
则g′(a)＝－＋ln (－a)＋＝ln (－a)，
a∈(－e2，－1)，
所以g′(a)>0，所以g(a)在(－e2，－1)上单调递增，
且g(－e)＝0，g(－e2)＝－<0，
所以当a∈(－e2，－e)时，f(x)极小值<0，此时存在x1，x2∈(1，e)(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)<0.
21．某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出厂．检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂．
(1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？
(2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂．设每片芯片不合格的概率为p(0<p<1)，且相互独立．
①若某盒12片芯片中恰有3片次品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；
②若以①中的p0作为p的值，由于质检员操作疏忽，有一盒芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这盒芯片最终利润X(单位：元)的期望．
解 (1)设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为A，则P(A)＝＝.
答：该盒芯片经一次检验即可出厂的概率为.
(2)①某盒12片芯片中恰有3片次品的概率
f(p)＝Cp3(1－p)9
＝C12，
当且仅当3p＝1－p，即p＝时取“＝”号，
故f(p)的最大值点p0＝.
②由题设，知p＝p0＝.
设这盒芯片不合格品的个数为n，
则n～B，
故E(n)＝12×＝3，
则E(X)＝120－12－30－3×2＝72.
所以这盒芯片最终利润X的期望是72元．
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