资源描述
选填题(三)
一、选择题
1．设i为虚数单位，复数z＝的虚部是( )
A. B．－ C．1 D．－1
答案 B
解析 z＝＝＝－i，所以复数z的虚部为－，选B.
2．集合A＝{x|y＝ln x}，B＝{x|y＝}，那么A∩B＝( )
A．{x|0<x≤2} B．{x|0≤x<2}
C．{x|1≤x<2} D．{x|1<x≤2}
答案 A
解析 ∵A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤2}，
∴A∩B＝{x|0<x≤2}．
3．(2022·山东日照5月校际联考)在平面直角坐标系xOy中，P是角α终边上的一点，那么sin2α＝( )
A. B. C．－ D．－
答案 B
解析 设r为点P到坐标原点的距离，由三角函数定义得sinα＝＝，cosα＝＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝，应选B.
4．(2022·全国卷Ⅱ)2022年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球反面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球反面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥〞，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：＋＝(R＋r)·.设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，那么r的近似值为( )
A. R B. R C. R D. R
答案 D
解析 由α＝得r＝αR，代入＋＝(R＋r)·，整理得＝.又∵≈3α3，∴3α3≈，∴α≈ ，∴r＝αR≈ R.应选D.
5. 执行如下图的程序框图，那么输出的n为( )
A．9 B．11
C．13 D．15
答案 C
解析 由程序框图可知，S是对进行累乘，直到S<时停止运算，即当S＝1×××××<时循环终止，此时输出的n＝13，应选C.
6．某班从3名男生和2名女生中任意抽取2名学生参加活动，那么抽到2名学生性别相同的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 记3名男生为1,2,3,2名女生为a，b，从这5人中任取2人，有以下情况：{1,2}，{1,3}，{1，a}，{1，b}，{2,3}，{2，a}，{2，b}，{3，a}，{3，b}，{a，b}，共10种等可能的情况．其中性别相同的有4种，故所求概率P＝＝.
7．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，那么C的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 A
解析 设双曲线C的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，且l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，因此直线l的方程为x＝c或x＝－c，代入－＝1中得y2＝b2＝，∴y＝±，故|AB|＝，
依题意＝4a，∴＝2，∴＝e2－1＝2，
∴e＝，选A.
8．某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是3，那么正视图中的x的值是( )
A. B. C．1 D．3
答案 D
解析 该几何体是四棱锥，其直观图如下图，由题意得V四棱锥＝××(1＋2)×2x＝3，解得x＝3.
9．数列{an}满足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，那么其前100项和为( )
A．250 B．200 C．150 D．100
答案 D
解析 因为an＋1＋(－1)n＋1an＝2，
所以a2＋a1＝2，
a4＋a3＝2，
a6＋a5＝2，
…
a100＋a99＝2.
以上50个等式相加可得，
数列{an}的前100项和为2×50＝100.
10．(2022·河南省鹤壁高中压轴二)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，假设ac＝4，sinB＋2sinCcosA＝0，那么△ABC面积的最大值为( )
A．1 B. C．2 D．4
答案 A
解析 由正弦定理，得b＋2ccosA＝0，那么b＋2c·＝0，即2b2＝a2－c2，所以cosB＝＝＝≥＝，当且仅当c2＝，b2＝，a2＝4时取等号，所以B∈，所以0<sinB≤，那么S△ABC＝acsinB≤×4×＝1，所以△ABC面积的最大值为1.应选A.
11．函数f(x)＝那么f[f(x)]<2的解集为( )
A．(1－ln 2，＋∞) B．(－∞，1－ln 2)
C．(1－ln 2,1) D．(1,1＋ln 2)
答案 B
解析 因为当x≥1时，f(x)＝x3＋x≥2，当x<1时，f(x)＝2ex－1<2，所以f[f(x)]<2等价于f(x)<1，即2ex－1<1，解得x<1－ln 2，所以f[f(x)]<2的解集为(－∞，1－ln 2)，应选B.
12．(2022·湖南湘潭摸底考试) 如图，记椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出以下四个命题：
①P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值；
②曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称；
③曲线C所围区域的面积必小于36；
④曲线C的总长度不大于6π.
其中所有正确命题的序号为( )
A．①③ B．②③
C．③④ D．②③④
答案 B
解析 对于①，假设点P在椭圆＋＝1上，P到F1(－4，0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错误；对于②，联立两个椭圆的方程，得
得y2＝x2，结合椭圆的对称性知，曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故②正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C的总长度必大于圆的周长6π，故④错误．应选B.
二、填空题
13．在菱形ABCD中，A(－1,2)，C(2,1)，那么·＝________.
答案 －5
解析 设菱形ABCD的对角线交于点M，那么＝＋，⊥，＝－，又＝(3，－1)，所以·＝(＋)·＝－AC2＝－5.
14．假设过曲线f(x)＝xln x上的点P处的切线的斜率为2，那么点P的坐标是________．
答案 (e，e)
解析 设点P的坐标为(x0，y0)，∵f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，
曲线f(x)＝xln x上点P处的切线斜率为2，
∴f′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e.y0＝eln e＝e.
故点P的坐标为(e，e)．
15．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：
货物
体积(升/件)
重量(千克/件)
利润(元/件)
甲
20
10
8
乙
10
20
10
运输限制
110
100
在最合理的安排下，获得的最大利润为________．
答案 62元
解析 设该货运员运送甲种货物x件，乙种货物y件，获得的利润为z元，那么由题意得
即z＝8x＋10y，作出不等式组表示的可行域，如图中阴影局部所示，结合图象可知，当直线z＝8x＋10y经过点(4,3)时，目标函数z＝8x＋10y取得最大值，zmax＝62，所以获得的最大利润为62元．
16．(2022·安徽皖江摸底考试)设函数f(x)＝6x2ex－3ax＋2a(e为自然对数的底数)，当x∈R时，f(x)≥0恒成立，那么实数a的最大值为________．
答案 6e
解析 ∵f(x)≥0，
∴6x2ex≥a(3x－2)，
令g(x)＝6x2ex，
y＝a(3x－2)，那么
g′(x)＝6(2x＋x2)ex，
由g′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，分别作出g(x)＝6x2ex，y＝a(3x－2)的图象，要使g(x)＝6x2ex的图象不在y＝a(3x－2)的图象下方，设切点P(x0，y0)，切线为y－y0＝k(x－x0)，即y－6xe＝6(x＋2x0)(x－x0)e，由切线过得，0－6x·e＝6(x＋2x0)e，∴x0＝0或－x0＝(x0＋2)，即x0＝0或x0＝1或x0＝－，由图象知0≤a≤g′(1)＝6e.故实数a的最大值为6e.
- 5 -
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
