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第五章 第7讲
[A级 根底达标]
1．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，假设∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，那么A，C两点之间的距离为( )
A． km B． km
C． km D．2 km
【答案】A
2．如下图，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.其中一定能确定A，B间的距离的方案为( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
【答案】D
3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10海里 B．10海里
C．20海里 D．20海里
【答案】A
4．(2023年深圳模拟)一架直升机在200 m高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，那么塔高为( )
A． m B． m
C． m D． m
【答案】A
5．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，那么河流的宽度BC等于( )
A．240(－1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
【答案】C 【解析】如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，在Rt△ACD中，CD＝＝＝60(m)，在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝60(2－)(m)，所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m).
6．如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，那么AB＝________.
【答案】 【解析】在△ACD中，由余弦定理可得cos C＝＝，那么sin C＝.在△ABC中，由正弦定理可得＝，那么AB＝＝＝.
7．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．假设此人步行的速度为每分钟50米，那么该扇形的半径为________米．
【答案】50 【解析】连接OC，由题意知CD＝150米，OD＝100米，∠CDO＝60°.在△COD中，由余弦定理得OC2＝CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°，即OC＝50.
8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作?数书九章?卷五“田域类〞里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？〞这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里、14里、15里，假设1里按500米计算，那么该沙田的面积为________平方千米．
【答案】21 【解析】设在△ABC中，a＝13里，b＝14里，c＝15里，所以cos C＝＝，所以sin C＝，故△ABC的面积为×13×14××5002×＝21(平方千米)．
9．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，那么山顶的高度为多少米？(取≈1．4，≈1．7)
解：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC中，＝，所以BC＝×sin 15°＝10 500(－)．因为CD⊥AD，所以CD＝BC·sin∠DBC＝10 500(－)×＝10 500(－1)≈7 350(m)．故山顶的高度为10 000－7 350＝2 650(m)．
10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC．
(1)求sin∠ABD的值；
(2)假设∠BCD＝，求CD的长．
【答案】解：(1)因为AD∶AB＝2∶3，
所以可设AD＝2k，AB＝3k(k＞0)．
又BD＝，∠DAB＝，
所以由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos，解得k＝1．
所以AD＝2，AB＝3，sin∠ABD＝＝＝.
(2)因为AB⊥BC，
所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝.
所以sin∠DBC＝.
所以＝.
所以CD＝＝.
[B级 能力提升]
11．(2023年衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型〞气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，那么该仪器的垂直弹射高度CH为( )
A．210(＋)米 B．140米
C．210米 D．20(－)米
【答案】B 【解析】由题意，设AC＝x米，那么BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理得，BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420(米)．在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理＝，可得CH＝AC·＝140(米)
12．地面上有两座塔AB，CD，相距120米，一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O处测得塔顶的仰角互为余角，那么两塔的高度分别为( )
A．50米，100米 B．40米，90米
C．40米，50米 D．30米，40米
【答案】B 【解析】设高塔高H，矮塔高h，在矮塔下望高塔仰角为α，在O点望高塔仰角为β.分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍，所以在高塔下望矮塔仰角为，即tan α＝，tan＝，根据倍角公式有＝①.在塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔仰角为－β，即tan β＝，tan＝，根据诱导公式有＝②.联立①②得H＝90，h＝40，即两座塔的高度分别为40米，90米．
13．(一题两空)如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是BC的三等分点，那么tan α＝______，tan β＝______.
【答案】 【解析】设等腰直角三角形的直角边为a，点D，E分别是BC的三等分点，那么CD＝DE＝EB＝a，所以tan α＝＝，tan(α＋β)＝＝＝.因为tan α＝，所以tan β＝
14．(一题两空)(2023年厦门模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC于D点．假设AD＝2，a＝3，csin Acos C＝(2b－c)cos Asin C，那么A＝________，△ABC的面积为________．
【答案】 【解析】因为csin Acos C＝(2b－c)·cos Asin C，所以由正弦定理得sin Csin Acos C＝(2sin B－sin C)cos Asin C．又因为A，B，C为三角形内角，所以sin C≠0，sin B≠0.所以sin Acos C＝2sin Bcos A－sin Ccos A⇒sin B＝2sin Bcos A⇒cos A＝⇒A＝.由正弦定理可知＝＝＝＝2，所以c＝2sin C，b＝2·sin B，＝，得BD＝.同理有CD＝，BC＝BD＋CD＝＋＝3，化简得sin2－sin －＝0，所以sin＝或sin＝－(舍去)，解得或所以或所以S△ABC＝ac＝或S△ABC＝ab＝.综上，S△ABC＝.
15．高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水．如下图，B，E，F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为30°，60°，45°，方案沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC，DE，EF三段线段的长度分别为3,1,2.
(1)求线段AE的长度；
(2)求隧道CD的长度．
解：(1)由得EF＝2，∠F＝45°，∠EAF＝60°－45°＝15°.
sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝.
在△AEF中，由正弦定理得＝，即＝，解得AE＝2.
(2)由得∠BAE＝180°－30°－60°＝90°.
在Rt△ABE中，BE＝2AE＝4，
所以隧道长度CD＝BE－BC－DE＝4.
16．要测量对岸两点A，B之间的距离，选取相距200 m的C，D两点，并测得∠ADC＝105°，∠BDC＝15°，∠BCD＝120°，∠ACD＝30°，求A，B两点之间的距离．
解：在△ACD中，因为∠ACD＝30°，∠ADC＝105°，所以∠DAC＝45°.由正弦定理得＝，又CD＝200，所以AD＝100.
在△BCD中，同理可得∠CBD＝45°.由正弦定理得＝，所以BD＝100.
在△ABD中，∠BDA＝105°－15°＝90°，由勾股定理得AB＝＝200，即A，B两点间的距离为200.
[C级 创新突破]
17．(2023年山东)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的界面如下图．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12 cm，DE＝2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，那么图中阴影局部的面积为________cm2.
【答案】π＋4 【解析】过A作AM⊥EF交DG于点M，交BH于点P，过O作ON⊥DG交DG于点N，设OB＝OA＝R.由可得AM＝5，DM＝7，所以MG＝5.所以∠AGM＝45°.所以OA＝AH＝R，OH＝R，MN＝OP＝AP＝R.所以ON＝5－R，DN＝7－R.又tan∠ODC＝，所以＝，解得R＝2.所以扇形AOB面积S1＝·π·(2)2＝3π，S△AOH＝×2×2＝4.
半圆孔的面积S′＝π·12＝，所以阴影局部面积S＝S1＋S△AOH－S′＝π＋4.
18．在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100 m和BN＝200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
【答案】解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，
所以PM＝100.
连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝100，
故△PQM为等边三角形，那么QM＝100.
在Rt△AMQ中，AQ＝＝200.
在Rt△BNQ中，tan θ＝＝＝2，
所以NQ＝100，BQ＝100，cos θ＝.
在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝(100)2，所以BA＝100.所以两发射塔顶A，B之间的距离是100 m.
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