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热点(三) 等差、等比数列
1．(等差数列的项和项数的关系)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么a37＋b37等于( )
A．0 B．37
C．100 D．－37
答案：C
解析：∵{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列．
∵a1＋b1＝25＋75＝100，a2＋b2＝100，∴{an＋bn}的公差为0.
∴a37＋b37＝100，应选C.
2．(等比数列的项数和项的关系)等比数列{an}中，a2＝2，a6＝8，那么a3a4a5＝( )
A．±64 B．64
C．32 D．16
答案：B
解析：由等比数列的性质可知a2a6＝a＝16，而a2，a4，a6同号，所以a4＝4，所以a3a4a5＝a＝64，应选B.
3．(求数列的项)是等差数列，且a1＝1，a4＝4，那么a10＝( )
A．－ B．－
C. D.
答案：A
解析：由题意得＝1，＝，所以等差数列的公差d＝＝－，由此可得＝1＋(n－1)×＝－＋，因此＝－，所以a10＝－.应选A.
4．(项和项数的关系)假设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，那么a4＋S7的值是( )
A．20 B．36
C．24 D．72
答案：C
解析：由得解得
∴a4＋S7＝8a1＋24d＝24.应选C.
5．(项和项数的关系)正项等比数列{an}，假设a1a20＝100，那么a7＋a14的最小值为( )
A．20 B．25
C．50 D．不存在
答案：A
解析：(a7＋a14)2＝a＋a＋2a7a14≥4a7a14＝4a1a20＝400(当且仅当a7＝a14＝10时等号成立)，∴a7＋a14≥20.应选A.
6．(等比数列前n项和)数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，假设这个数列是等比数列，那么b等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．4
答案：A
解析：等比数列{an}中，当公比q≠1时，Sn＝＝·qn－＝A·qn－A，∵Sn＝4n＋b，∴b＝－1.应选A.
7．(等差数列前n项和)记Sn为等差数列{an}的前n项和．假设3S3＝S2＋S4，a1＝2，那么a5＝( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
答案：B
解析：3＝2a1＋d＋4a1＋×d⇒9a1＋9d＝6a1＋7d⇒3a1＋2d＝0⇒6＋2d＝0⇒d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.应选B.
8．(等差数列和的性质)等差数列{an}的前n项和为Sn，假设S11＝22，那么a3＋a7＋a8＝( )
A．18 B．12
C．9 D．6
答案：D
解析：解法一 由题意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，应选D.
解法二 因为S11＝11a6＝22，所以a6＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝3a6＝6，应选D.
9．(和的最值问题)等差数列{an}的公差d<0，且a＝a，那么数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是( )
A．9 B．10
C．10或11 D．11或12
答案：C
解析：由d<0，得a1≠a21，又a＝a，∴a1＋a21＝0，∴a11＝0，应选C.
10．(等比数列和的性质)设Sn是等比数列{an}的前n项和，假设＝3，那么＝( )
A．2 B.
C. D．1或2
答案：B
解析：设S2＝k，那么S4＝3k，由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠－1)，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，
∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝，应选B.
11．(项和项数的关系)数列{an}是等比数列，且a2＝2，a5＝，那么a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D.(1－2－n)
答案：C
解析：设{an}的公比为q，因为等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，所以＝q3＝，所以q＝.由等比数列的性质，易知数列{anan＋1}为等比数列，其首项为a1a2＝8，公比为q2＝，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1为数列{anan＋1}的前n项和．所以a1a2＋a2a3＋…anan＋1＝＝(1－4－n)，应选C.
12．(等差性质＋向量共线)数列(an}为等差数列，且满足＝a1＋a2 017，假设＝λ(λ∈R)，点O为直线BC外一点，那么a1 009＝( )
A．3 B．2
C．1 D.
答案：D
解析：∵数列{an}为等差数列，满足＝a1＋a2 017，
由＝λ(λ∈R)得A，B，C在一条直线上，又O为直线BC外一点，∴a1＋a2 017＝1，∵数列{an}是等差数列，
∴2a1 009＝a1＋a2 017＝1，∴a1 009＝.
故答案为D.
13．(等差数列和的性质)记Sn为等差数列{an}的前n项和．假设a4＋a5＝24，S6＝48，那么{an}的公差为________．
答案：4
解析：设{an}的公差为d，那么由
得解得d＝4.
14．(等比数列前n项和)等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝m·2n－1－3，那么m＝________.
答案：6
解析：当n＝1时，a1＝S1＝m－3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝m2n－2，
∴a2＝m，a3＝2m，又a＝a1a3，∴m2＝(m－3)·2m，
整理得m2－6m＝0，
那么m＝6或m＝0(舍去)．
15．(项和项数的关系)在正项等比数列{an}中，a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，那么n＝________.
答案：14
解析：设数列{an}的公比为q，
由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，
可得q9＝3，又an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，
所以q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.
16．(项和项数的关系)数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，假设b10·b11＝2，那么a21＝________.
答案：1 024
解析：∵b1＝＝a2，b2＝，∴a3＝b2a2＝b1b2.
∵b3＝，∴a4＝b1b2b3，∴an＝b1b2b3…bn－1，
∴a21＝b1b2b3…b20＝(b10b11)10＝210＝1 024.
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