2023版高考数学一轮复习核心素养测评六十圆锥曲线中求值与证明问题理北师大版.doc

核心素养测评六十 圆锥曲线中求值与证明问题
1. 已知抛物线C:y2=2px(p>0),直线y=x-1与C相交所得的弦长为8.
(1)求p的值.
(2)过原点O的直线l与抛物线C交于M点,与直线x=-1交于H点,过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点,求证:直线MN过定点.
【解析】(1)由,消x可得y2-2py-2p=0,
所以y1+y2=2p,y1y2=-2p,所以弦长为·=·=8,
解得p=2或p=-4(舍去),所以p=2.
(2)由(1)可得y2=4x,
设M,所以直线OM的方程为y=x,当x=-1时,yH=-,
代入抛物线方程y2=4x,可得xN=,
所以N,
①当≠,即y0≠±2时,
直线MN的斜率k==,
直线MN的方程为y-y0=,整理可得y=(x-1),故直线MN过定点(1,0).
②当=,
即y0=±2时,直线MN的方程为x=1,
必过点(1,0),综上,直线MN过定点(1,0)
2.已知抛物线E:y2=4x,圆C:(x-3)2+y2=1.
(1)若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切,求直线l的方程.
(2)在(1)的条件下,若直线l交抛物线E于A,B两点,x轴上是否存在点M(t,0)使∠AMO=∠BMO(O为坐标原点)?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题知抛物线E的焦点为F(1,0),
当直线的斜率不存在时,过点F(1,0)的直线不可能与圆C相切,
所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在,
设直线斜率为k,则所求的直线方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,
所以圆心(3,0)到直线l的距离为d==,
当直线l与圆相切时,有d=1⇒=1⇒k=±,
所以所求的切线方程为y=(x-1)或y=-(x-1).
(2)由(1)知,不妨设直线l:y=(x-1),交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
联立方程组⇒x2-14x+1=0,
所以x1+x2=14,x1·x2=1,假设存在点M(t,0)使∠AMO=∠BMO,则kAM+kBM=0.而kAM=,kBM=,所以kAM+kBM=+
==0
⇒y1x2+y2x1-(y1+y2)t=0
⇒2x1x2-(x2+x1)-(x1+x2-2)t=0,
即2-14-(14-2)t=0⇒t=-1,
故存在点M(-1,0)符合条件.
当直线l:y=-(x-1)时由对称性易知点M(-1,0)也符合条件.综合可知在(1)的条件下,存在点M(-1,0)使∠AMO=∠BMO.
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