1、核心素养测评六十 圆锥曲线中求值与证明问题
1. 已知抛物线C:y2=2px(p>0),直线y=x-1与C相交所得的弦长为8.
(1)求p的值.
(2)过原点O的直线l与抛物线C交于M点,与直线x=-1交于H点,过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点,求证:直线MN过定点.
【解析】(1)由,消x可得y2-2py-2p=0,
所以y1+y2=2p,y1y2=-2p,所以弦长为·=·=8,
解得p=2或p=-4(舍去),所以p=2.
(2)由(1)可得y2=4x,
设M,所以直线OM的方程为y=x,当x=-1时,yH=-,
代入抛物线方程y2=4x,可得xN=,
所以N,
①
2、当≠,即y0≠±2时,
直线MN的斜率k==,
直线MN的方程为y-y0=,整理可得y=(x-1),故直线MN过定点(1,0).
②当=,
即y0=±2时,直线MN的方程为x=1,
必过点(1,0),综上,直线MN过定点(1,0)
2.已知抛物线E:y2=4x,圆C:(x-3)2+y2=1.
(1)若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切,求直线l的方程.
(2)在(1)的条件下,若直线l交抛物线E于A,B两点,x轴上是否存在点M(t,0)使∠AMO=∠BMO(O为坐标原点)?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题知抛物线E的焦点为F(1,0),
3、
当直线的斜率不存在时,过点F(1,0)的直线不可能与圆C相切,
所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在,
设直线斜率为k,则所求的直线方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,
所以圆心(3,0)到直线l的距离为d==,
当直线l与圆相切时,有d=1⇒=1⇒k=±,
所以所求的切线方程为y=(x-1)或y=-(x-1).
(2)由(1)知,不妨设直线l:y=(x-1),交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
联立方程组⇒x2-14x+1=0,
所以x1+x2=14,x1·x2=1,假设存在点M(t,0)使∠AMO=∠BMO,则kAM+kBM=0.而kAM=,kBM=,所以kAM+kBM=+
==0
⇒y1x2+y2x1-(y1+y2)t=0
⇒2x1x2-(x2+x1)-(x1+x2-2)t=0,
即2-14-(14-2)t=0⇒t=-1,
故存在点M(-1,0)符合条件.
当直线l:y=-(x-1)时由对称性易知点M(-1,0)也符合条件.综合可知在(1)的条件下,存在点M(-1,0)使∠AMO=∠BMO.
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