2022年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科).docx

2022年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷〔文科〕
一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．〔5分〕假设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|x＜1}，那么A∩B等于〔　　〕
A．〔1，3〕 B．〔﹣∞，﹣1〕 C．〔﹣1，1〕 D．〔﹣3，1〕
2．〔5分〕i为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于〔　　〕
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．〔5分〕平面向量，，且，那么实数x的值为〔　　〕
A． B． C． D．
4．〔5分〕tanθ=2，那么的值为〔　　〕
A． B． C． D．
5．〔5分〕一个算法的程序框图如下列图，当输出的结果为0时，输入的x的值为〔　　〕
A．﹣3 B．﹣3或9 C．3或﹣9 D．﹣9或﹣3
6．〔5分〕某四棱锥的三视图如下列图，那么该四棱锥的侧面积是〔　　〕
A． B． C． D．
7．〔5分〕在等差数列{an}中，假设Sn为前n项和，2a7=a8+5，那么S11的值是〔　　〕
A．55 B．11 C．50 D．60
8．〔5分〕甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，以下判断正确的选项是〔　　〕
A．甲是教师，乙是医生，丙是记者
B．甲是医生，乙是记者，丙是教师
C．甲是医生，乙是教师，丙是记者
D．甲是记者，乙是医生，丙是教师
9．〔5分〕函数，以下命题中假命题是〔　　〕
A．函数f〔x〕的图象关于直线对称
B．是函数f〔x〕的一个零点
C．函数f〔x〕的图象可由g〔x〕=sin2x的图象向左平移个单位得到
D．函数f〔x〕在上是增函数
10．〔5分〕设函数f〔x〕=xex+1，那么〔　　〕
A．x=1为f〔x〕的极大值点 B．x=1为f〔x〕的极小值点
C．x=﹣1为f〔x〕的极大值点 D．x=﹣1为f〔x〕的极小值点
11．〔5分〕双曲线，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A，假设，那么双曲线C的离心率为〔　　〕
A．2 B． C． D．
12．〔5分〕设函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，且f〔x+2〕=f〔2﹣x〕，当x∈[﹣2，0]时，，那么在区间〔﹣2，6〕内关于x的方程f〔x〕﹣log8〔x+2〕=0解的个数为〔　　〕
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕
13．〔5分〕设变量x，y满足约束条件：，那么z=x﹣3y的最小值为．
14．〔5分〕抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P〔1，1〕为中点，那么弦AB所在直线方程是．
15．〔5分〕在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=3an﹣2an﹣1〔n≥2〕，那么an=．
16．〔5分〕正四棱锥S﹣ABCD中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为．
三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕
17．〔12分〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．
〔1〕求△ABC的面积；
〔2〕假设b+c=6，求a的值．
18．〔12分〕高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间〞三个场所中“感到最幸福的场所在哪里〞这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占、家占、个人空间占．
〔Ⅰ〕请根据以上调查结果将下面2×2列联表补充完整；并判断能否有95%的把握认为“恋家〔在家里感到最幸福〕〞与国别有关；

在家里最幸福
在其它场所幸福
合计
中国高中生

美国高中生

合计

〔Ⅱ〕从被调查的不“恋家〞的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间〞感到幸福的学生的概率．
附：，其中n=a+b+c+d．
P〔k2≥k0〕
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
10.828
19．〔12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB=2，CD=3，M为PC上一点，且PM=2MC．
〔1〕求证：BM∥平面PAD；
〔2〕假设AD=2，PD=3，，求三棱锥P﹣ADM的体积．
20．〔12分〕椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点在椭圆上，且有．
〔1〕求椭圆C的标准方程；
〔2〕过F2的直线l与椭圆交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．
21．〔12分〕函数f〔x〕=〔x+1〕2﹣3alnx，a∈R．
〔1〕求函数f〔x〕图象经过的定点坐标；
〔2〕当a=1时，求曲线f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程及函数f〔x〕单调区间；
〔3〕假设对任意x∈[1，e]，f〔x〕≤4恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．〔10分〕在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为〔t为参数〕，曲线C2的直角坐标方程为x2+〔y﹣2〕2=4．以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α，〔0＜α＜π〕
〔1〕求曲线C1、C2的极坐标方程；
〔2〕设点A、B为射线l与曲线C1、C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．函数f〔x〕=|x﹣a|+3x，其中a∈R．
〔1〕当a=1时，求不等式f〔x〕≥3x+|2x+1|的解集；
〔2〕假设不等式f〔x〕≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
2022年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷〔文科〕
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．〔5分〕假设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|x＜1}，那么A∩B等于〔　　〕
A．〔1，3〕 B．〔﹣∞，﹣1〕 C．〔﹣1，1〕 D．〔﹣3，1〕
【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|x＜1}，
那么A∩B={x|﹣1＜x＜1}=〔﹣1，1〕，
应选：C
2．〔5分〕i为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于〔　　〕
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵=，
∴复数的共扼复数为，在复平面内对应的点的坐标为〔〕，位于第二象限．
应选：B．
3．〔5分〕平面向量，，且，那么实数x的值为〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，向量，，
那么﹣=〔﹣3，x﹣〕，
又由，那么〔﹣〕•=〔﹣3〕×1+〔x﹣〕×=0，
解可得x=2，
应选：B．
4．〔5分〕tanθ=2，那么的值为〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：∵tanθ=2，那么=1++
=1++=+=，
应选：C．
5．〔5分〕一个算法的程序框图如下列图，当输出的结果为0时，输入的x的值为〔　　〕
A．﹣3 B．﹣3或9 C．3或﹣9 D．﹣9或﹣3
【解答】解：输出才结果为零，有y=0
由程序框图可知，当：y=〔〕x﹣8=0时，解得选x=﹣3；
当y=2﹣log3x=0，解得x=9．
综上，有x=﹣3，或者9．
应选：B．
6．〔5分〕某四棱锥的三视图如下列图，那么该四棱锥的侧面积是〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：由四棱锥的三视图得到该四棱锥是P﹣ABCD，
其中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥平面ABCD，如图，
PB=PD==2，
∴该四棱锥的侧面积是：
S=S△PBC+S△PDC+S△PAB+S△PCD
=
=4+4．
应选：A．
7．〔5分〕在等差数列{an}中，假设Sn为前n项和，2a7=a8+5，那么S11的值是〔　　〕
A．55 B．11 C．50 D．60
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵2a7=a8+5，∴2a1+12d=a1+7d+5，
∴a1+5d=5=a6，
那么S11==11a6=55．
应选：A．
8．〔5分〕甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，以下判断正确的选项是〔　　〕
A．甲是教师，乙是医生，丙是记者
B．甲是医生，乙是记者，丙是教师
C．甲是医生，乙是教师，丙是记者
D．甲是记者，乙是医生，丙是教师
【解答】解：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，
从而排除B和D；
由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生．
应选：C．
9．〔5分〕函数，以下命题中假命题是〔　　〕
A．函数f〔x〕的图象关于直线对称
B．是函数f〔x〕的一个零点
C．函数f〔x〕的图象可由g〔x〕=sin2x的图象向左平移个单位得到
D．函数f〔x〕在上是增函数
【解答】解：对于A，当x=时，函数f〔x〕=sin〔2×+〕=1为最大值，
∴f〔x〕的图象关于直线对称，A正确；
对于B，当x=﹣时，函数f〔x〕=sin〔﹣2×+〕=0，
∴x=﹣是函数f〔x〕的一个零点，B正确；
对于C，函数f〔x〕=sin〔2x+〕=sin2〔x+〕，
其图象可由g〔x〕=sin2x的图象向左平移个单位得到，∴C错误；
对于D，x∈[0，]时，2x+∈[，]，
∴函数f〔x〕=sin〔2x+〕在上是增函数，D正确．
应选：C．
10．〔5分〕设函数f〔x〕=xex+1，那么〔　　〕
A．x=1为f〔x〕的极大值点 B．x=1为f〔x〕的极小值点
C．x=﹣1为f〔x〕的极大值点 D．x=﹣1为f〔x〕的极小值点
【解答】解：由于f〔x〕=xex，可得f′〔x〕=〔x+1〕ex，
令f′〔x〕=〔x+1〕ex=0可得x=﹣1，
令f′〔x〕=〔x+1〕ex＞0可得x＞﹣1，即函数在〔﹣1，+∞〕上是增函数
令f′〔x〕=〔x+1〕ex＜0可得x＜﹣1，即函数在〔﹣∞，﹣1〕上是减函数
所以x=﹣1为f〔x〕的极小值点．
应选：D．
11．〔5分〕双曲线，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A，假设，那么双曲线C的离心率为〔　　〕
A．2 B． C． D．
【解答】解：由直径所对的圆周角为直角，可得
∠OAF=90°，
在△OAF中，，
可得AF=OFcos30°=c，
由AF为焦点〔c，0〕到渐近线bx﹣ay=0的距离，
即为==b，
即有b=c，
e====2，
应选A．
12．〔5分〕设函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，且f〔x+2〕=f〔2﹣x〕，当x∈[﹣2，0]时，，那么在区间〔﹣2，6〕内关于x的方程f〔x〕﹣log8〔x+2〕=0解的个数为〔　　〕
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：对于任意的x∈R，都有f〔2+x〕=f〔2﹣x〕，
∴f〔x+4〕=f[2+〔x+2〕]=f[〔x+2〕﹣2]=f〔x〕，
∴函数f〔x〕是一个周期函数，且T=4．
又∵当x∈[﹣2，0]时，f〔x〕=〔〕x﹣1，且函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，
且f〔6〕=1，那么函数y=f〔x〕与y=log 8〔x+2〕在区间〔﹣2，6〕上的图象如以下列图所示：
根据图象可得y=f〔x〕与y=log 8〔x+2〕在区间〔﹣2，6〕上有3个不同的交点．
应选：C．
．
二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕
13．〔5分〕设变量x，y满足约束条件：，那么z=x﹣3y的最小值为　﹣10　．
【解答】解：画出约束条件：可行域如以下列图，
由z=x﹣3y得y=x﹣；
平移直线y=x﹣，
由图象可知当直线经过点B时，
直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，
由解得，
B〔﹣1，3〕；
故此时z=﹣1﹣3×3=﹣10；
故答案为：﹣10
14．〔5分〕抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P〔1，1〕为中点，那么弦AB所在直线方程是　2x﹣y﹣1=0　．
【解答】解：设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，
代入抛物线方程得y12=4x1，①，y22=4x2，②，
①﹣②整理得k===2，
那么弦AB所在直线方程为y﹣1=2〔x﹣1〕，
即为2x﹣y﹣1=0．
故答案为：2x﹣y﹣1=0．
15．〔5分〕在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=3an﹣2an﹣1〔n≥2〕，那么an=　2n﹣1〔n∈N*〕　．
【解答】解：∵an+1=3an﹣2an﹣1〔n≥2〕，
∴an+1﹣an=2an﹣2an﹣1=2〔an﹣an﹣1〕〔n≥2〕，
可得：
a3﹣a2=2〔a2﹣a1〕
a4﹣a3=2〔a3﹣a2〕
…
an+1﹣an=2〔an﹣an﹣1〕
相加可得：an+1﹣a2=2〔an﹣a1〕，可得：an+1﹣2=2〔an﹣1〕，即：an+1=2an，
∴数列{an}是等比数列，n∈N*，
∴．
故答案为：2n﹣1〔n∈N*〕．
16．〔5分〕正四棱锥S﹣ABCD中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为　6　．
【解答】解：设正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为a，那么高h==，
∴体积V=a2h=，
设y=108a4﹣a6，
那么y′=432a3﹣3a5，
由y′=432a3﹣3a5=0，解得a=0或a=12，
∴当a=12时，体积最大，
此时h==6，
故答案为：6．
三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕
17．〔12分〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．
〔1〕求△ABC的面积；
〔2〕假设b+c=6，求a的值．
【解答】解：〔1〕因为，
所以，．
又由得bccosA=3，所以bc=5
因此．
〔2〕由〔1〕知，bc=5，又b+c=6，
由余弦定理，得，所以
18．〔12分〕高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间〞三个场所中“感到最幸福的场所在哪里〞这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占、家占、个人空间占．
〔Ⅰ〕请根据以上调查结果将下面2×2列联表补充完整；并判断能否有95%的把握认为“恋家〔在家里感到最幸福〕〞与国别有关；

在家里最幸福
在其它场所幸福
合计
中国高中生

美国高中生

合计

〔Ⅱ〕从被调查的不“恋家〞的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间〞感到幸福的学生的概率．
附：，其中n=a+b+c+d．
P〔k2≥k0〕
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
10.828
【解答】解：〔Ⅰ〕由得，

在家里最幸福
在其它场所幸福
合计
中国高中生
22
33
55
美国高中生
9
36
45
合计
31
69
100
∴=，
∴有95%的把握认为“恋家〞与否与国别有关；
〔Ⅱ〕用分层抽样的方法抽出4人，其中在“朋友聚焦的地方〞感到幸福的有3人，
在“个人空间〞感到幸福的有1人，分别设为a1，a2，a3，b；
∵Ω={〔a1，a2〕，〔a1，a3〕，〔a1，b〕，〔a2，a3〕，〔a2，b〕，〔a3，b〕}，∴n=6；
设“含有在“个人空间〞感到幸福的学生〞为事件A，
A={〔a1，b〕，〔a2，b〕，〔a3，b〕}，∴m=3；
那么所求的概率为．
19．〔12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB=2，CD=3，M为PC上一点，且PM=2MC．
〔1〕求证：BM∥平面PAD；
〔2〕假设AD=2，PD=3，，求三棱锥P﹣ADM的体积．
【解答】〔1〕证明：法一、过M作MN∥CD交PD于点N，连接AN．
∵PM=2MC，∴．
又∵，且AB∥CD，
∴AB∥MN，AB=MN，那么四边形ABMN为平行四边形，
∴BM∥AN．
又∵BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
法二、过点M作MN⊥CD于点N，N为垂足，连接BN．
由题意，PM=2MC，那么DN=2NC，
又∵DC=3，DN=2，∴AB=DN，AB∥DN，
∴四边形ABND为平行四边形，那么BN∥AD．
∵PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC．
又MN⊥DC，∴PD∥MN．
又∵BN⊂平面MBN，MN⊂平面MBN，BN∩MN=N；
∵AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，AD∩PD=D；
∴平面MBN∥平面PAD．
∵BM⊂平面MBN，∴BM∥平面PAD；
〔2〕解：过B作AD的垂线，垂足为E．
∵PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴PD⊥BE．
又∵AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，AD∩PD=D．
∴BE⊥平面PAD．
由〔1〕知，BM∥平面PAD，
∴M到平面PAD的距离等于B到平面PAD的距离，即BE．
在△ABC中，AB=AD=2，，∴．
∴．
20．〔12分〕椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点在椭圆上，且有．
〔1〕求椭圆C的标准方程；
〔2〕过F2的直线l与椭圆交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．
【解答】解：〔1〕由，得，∴．
将代入，得b2=1．
∴椭圆C的方程为；
〔2〕由，直线l的斜率为零时，不合题意；
设直线方程为x﹣1=my，点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，
联立，得〔m2+2〕y2+2my﹣1=0，
由韦达定理，得，
∴
==
==
=，
当且仅当，即m=0时，等号成立．
∴△AOB面积的最大值为．
21．〔12分〕函数f〔x〕=〔x+1〕2﹣3alnx，a∈R．
〔1〕求函数f〔x〕图象经过的定点坐标；
〔2〕当a=1时，求曲线f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程及函数f〔x〕单调区间；
〔3〕假设对任意x∈[1，e]，f〔x〕≤4恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：〔1〕当x=1时，ln1=0，所以f〔1〕=4，
所以函数f〔x〕的图象无论a为何值都经过定点〔1，4〕．
〔2〕当a=1时，f〔x〕=〔x+1〕2﹣3lnx．f〔1〕=4，，f'〔1〕=1，
那么切线方程为y﹣4=1×〔x﹣1〕，即y=x+3．
在x∈〔0，+∞〕时，如果，
即时，函数f〔x〕单调递增；
如果，
即时，函数f〔x〕单调递减．
〔3〕，x＞0．
当a≤0时，f'〔x〕＞0，f〔x〕在[1，e]上单调递增．f〔x〕min=f〔1〕=4，f〔x〕≤4不恒成立．
当a＞0时，设g〔x〕=2x2+2x﹣3a，x＞0．
∵g〔x〕的对称轴为，g〔0〕=﹣3a＜0，
∴g〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增，且存在唯一x0∈〔0，+∞〕，
使得g〔x0〕=0．
∴当x∈〔0，x0〕时，g〔x〕＜0，即f'〔x〕＜0，f〔x〕在〔0，x0〕上单调递减；
∴当x∈〔x0，+∞〕时，g〔x〕＞0，即f'〔x〕＞0，f〔x〕在〔x0，+∞〕上单调递增．
∴f〔x〕在[1，e]上的最大值f〔x〕max=max{f〔1〕，f〔e〕}．
∴，得〔e+1〕2﹣3a≤4，
解得．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．〔10分〕在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为〔t为参数〕，曲线C2的直角坐标方程为x2+〔y﹣2〕2=4．以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α，〔0＜α＜π〕
〔1〕求曲线C1、C2的极坐标方程；
〔2〕设点A、B为射线l与曲线C1、C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值．
【解答】解〔1〕由曲线C1的参数方程〔t为参数〕消去参数t得x2+〔y﹣1〕2=1，
即x2+y2﹣2y=0，
∴曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ．
由曲线C2的直角坐标方程x2+〔y﹣2〕2=4，得x2+y2﹣4y=0，
∴曲线C2的极坐标方程ρ=4sinθ．
〔2〕联立，得A〔2sinα，α〕，∴|OA|=2sinα，
联立，得B〔4sinα，α〕，∴|OB|=4sinα．
∴|AB|=|OB|﹣|OA|=2sinα．
∵0＜α＜π，∴当时，|AB|有最大值2．
[选修4-5：不等式选讲]
23．函数f〔x〕=|x﹣a|+3x，其中a∈R．
〔1〕当a=1时，求不等式f〔x〕≥3x+|2x+1|的解集；
〔2〕假设不等式f〔x〕≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
【解答】解：〔1〕a=1时，f〔x〕=|x﹣1|+3x
由f〔x〕≥|2x+1|+3x，得|x﹣1|﹣|2x+1|≥0，
故|x﹣1|≥|2x+1|，解得：﹣2≤x≤0，
∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤0}．
〔2〕由|x﹣a|+3x≤0，可得，或．
即，或．
①当a＞0时，不等式的解集为．
由，得a=2．
②当a=0时，解集为{0}，不合题意．
③当a＜0时，不等式的解集为．
由，得a=﹣4．
综上，a=2，或a=﹣4．