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竖直面内无支撑物的圆周运动的临界问题探究
（答题时间：20分钟）
1. 如图所示，两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距离也为L。今使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时速率为v，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点时速率为2v，则此时每段线中拉力大小为（ ）
A. mg B. 2mg C. 3mg D. 4mg
2. 在下图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧半径为R，则（ ）
A. 在最高点A，小球受重力和向心力
B. 在最高点A，小球受重力、圆弧的压力和向心力
C. 在最高点A，小球的速度为
D. 在最高点A，小球的向心加速度为g
3. 如图，汽车过桥可近似地看作圆周运动，当汽车以一定的速度通过拱桥顶点时向心力由重力和支持力的合力提供，关于两个力的关系正确的是（ ）
A. N>G B. N<G C. N＝G D. 无法确定
4. 如图所示竖直面内光滑轨道，它是由半径为R的半圆环和切于D点的水平部分组成。a、b、c三个物体由水平部分向半环滑去，它们重新落回到水平面上时的落点到切点D的距离依次为AD＜2R，BD＝2R，CD＞2R。若a、b、c三个物体离开半环在空中飞行时间依次为ta、tb、tc，则关于三者的时间关系一定有（ ）
A. ta＝tb B. tc＝ta C. tb＝tc D. 无法确定
5. 如图所示，一个人用一根长为R＝1米，能承受最大拉力为F＝74N的绳子，系着一个质量为m＝1kg的小球，在竖直平面内做圆周运动，已知圆心O离地面高h＝6米。运动中小球在圆周的最低点时绳子刚好被拉断，绳子的质量和空气阻力均忽略不计，g＝10 m/s2。求：
（1）绳子被拉断的瞬间，小球的速度v的大小？
（2）绳断后，小球落地点与圆周的最低点间的水平距离x为多大？
6. 在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的最大速度为108 km/h。汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.4倍。（g取10 m/s2）
（1）如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
（2）如果高速公路上设计了圆弧拱桥作立交桥，要使汽车能够安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？
1. A 解析：当小球到达最高点速率为v，有，当小球到达最高点速率为2v时，应有，所以，此时最高点各力如图所示，所以，A正确。
2. C 解析：小球在最高点受到重力，轨道对球的压力，两个力的合力提供向心力，故A、B错误；在最高点，根据向心力公式得：，，联立解得：，故C正确，D错误。
3. B 解析：汽车过拱桥顶时重力和支持力的合力充当向心力，方向竖直向下，根据牛顿第二定律可得：，故解得，所以，B正确。
4. C 解析：物体若从圆环最高点离开半环在空中做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，则有：，得，物体恰好到达圆环最高点时，最小速度，所以物体从圆环最高点离开半环后平抛运动的水平位移最小值为 x＝vt＝2R，由题知：AD＜2R，BD＝2R，CD＞2R，说明b、c通过最高点做平抛运动，则知tb＝tc，而a没有到达最高点，ta≠tb＝tc，故C正确，A、B、D错误。
故选C
5. （1）8m/s；（2）8m
解析：（1）由题意，绳子被拉断前的瞬间，由牛顿第二定律有
将F＝74N，m＝1kg，R＝1m代入解得 v＝8m/s。
（2））绳断后，小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则由平抛运动的规律有，x＝vt
得
6. （1）225m；（2）90m
解析：（1）汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力由车与路面间的静摩擦力提供。当静摩擦力达到最大值时，由向心力公式可知这时的半径最小，
有m≤0.4mg，由速度v＝30 m/s，得：r≥225m。
（2）汽车过拱桥，看作在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，
根据向心力公式有mg－N＝m，
为了保证安全，车对路面的压力必须大于零。
有mg≥m，v＝30 m/s，则R≥90 m。
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