2022高考数学一轮复习第八章平面解析几何第6节双曲线练习.doc

第6节 双曲线
[A级　基础巩固]
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，焦点在x轴上，所以双曲线方程为－＝1，故选A.
答案：A
2．(多选题)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x B．y＝±x
C．2x2－y2＝0 D．4x2－y2＝0
解析：由条件e＝＝，得＝＝1＋＝3，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，即2x2－y2＝0.
答案：BC
3．(2020·济南市期末)方程＋＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是(　　)
A．－3<m<0 B．－3<m<2
C．－3<m<4 D．－1<m<3
解析：根据题意，方程＋＝1表示双曲线，
则有(m－2)(m＋3)<0，
解得－3<m<2，
要求方程＋＝1表示双曲线的一个充分不必要条件，
则所给集合必须是{m|－3<m<2}的非空真子集，
依次分析选项，只有A符合条件．
答案：A
4．(2020·黄石市期末)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)
A. B.
C. D．2
解析：由题意可画下图，
设|MF1|＝m，则|MF2|＝2a＋m，
因为MF1与x轴垂直，
所以(2a＋m)2＝m2＋4c2，所以m＝，
因为sin∠MF2F1＝，所以＝a＝m，
所以a＝b，所以c＝a，所以e＝＝.
答案：A
5．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)
A. B．3
C．2 D．4
解析：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝± x.
设两渐近线夹角为2α，
则有tan α＝＝，所以α＝30°.
所以∠MON＝2α＝60°.
又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．
在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝.
则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.
故选B.
答案：B
6．(2020·馆陶一中月考)如果F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|＝6，则△ABF2的周长是________．
解析：由题意知：a＝4，b＝3，故c＝5.
由双曲线的定义知|AF2|－|AF1|＝8，　①
|BF2|－|BF1|＝8，②
①＋②得：|AF2|＋|BF2|－|AB|＝16，所以|AF2|＋|BF2|＝22，
所以△ABF2的周长是|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝28.
答案：28
7．(2020·上海市期末)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且过点(4，)，则此双曲线的方程为________．
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，
可设双曲线方程为：4y2－x2＝m，
双曲线经过点(4，)，
可得：8－16＝m，m＝－8，
所求双曲线方程为：－＝1.
答案：－＝1
8．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为________．
解析：由双曲线的标准方程为－＝1，得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10.
答案：10
9．(2020·福州市期末)已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx＋1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A，B两点，且AB中点横坐标为，求AB的长．
解：(1)由得(1－k2)x2－2kx－2＝0，(*)
双曲线C与直线l有两个不同的交点．
则方程(*)有两个不同的实数根，
所以解得－<k<且k≠±1.
所以若C与l有两个不同交点，k的取值范围是(－，－1)∪(－1，1)∪(1，)．
(2)设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)得x1＋x2＝＝2，即k2＋k－＝0，
解得：k＝或k＝－.
因为－<k<且k≠±1.所以k＝.
所以Δ＝－4k2＋8＝6，所以|AB|＝＝6.
10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
(1)解：因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．
所以设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
因为过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.
所以双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：因为＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．
所以·＝(－2－3)(2－3)＋m2＝－3＋m2，
因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2＝3，
所以·＝0.
(3)解：△F1MF2的底|F1F2|＝4.
由(2)知m＝±.
所以△F1MF2的高h＝|m|＝，
所以S△F1MF2＝×4×＝6.
[B级　能力提升]
11．(2020·西安市期末)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，点A、F分别为其右顶点和右焦点，B1(0，b)，B2(0，－b)，若B1F⊥B2A，则该双曲线的离心率为(　　)
A．1＋ B.
C. D.－1
解析：根据题意，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，点A、F分别为其右顶点和右焦点，
设A(a，0)，F(c，0)，则＝(c，－b)，＝(a，b)，
若B1F⊥B2A，则有·＝ac－b2＝0，
又由c2＝a2＋b2，则有c2－a2－ac＝0，
变形可得：e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍)，故e＝.
答案：C
12．(2020·泰州市期中)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于不同的两点M、N.若△MNF1为正三角形，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意可知，MN⊥x轴，|NF2|＝，|F1F2|＝2c，
所以|NF1|2＝＋4c2＝|MN|2＝.
所以4a2c2＝3b4＝3(c2－a2)2＝3a4－6a2c2＋3c4，
整理得3e4－10e2＋3＝0，
解得e2＝3或e2＝(舍去)，
所以e＝或e＝－(舍去)．
答案：
13．(2020·昆明外国语学校月考)双曲线C以坐标轴为对称轴，渐近线方程为y＝±x，且经过点P(2，3)．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)是否存在直线l过点M(2，2)交双曲线C于A、B两点，且点M是线段AB的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意，设双曲线方程为3x2－y2＝λ(λ≠0)，
点P(2，3)代入，得λ＝3，
所以双曲线的方程是3x2－y2＝3，即x2－＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B都在双曲线上，
所以
于是(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
所以1－··＝0，
若点M(2，2)是线段AB的中点，则
所以··kAB＝1，得kAB＝3，
于是直线l的方程为y－2＝3(x－2)，
即3x－y－4＝0，
联立整理得6x2－24x＋19＝0，
此时Δ＝120>0，
所以方程有两个实数根，即l与双曲线有两个交点，符合题意．
[C级　素养升华]
14．(多选题)平面内与两定点A1(0，－a)，A2(0，a)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线，以下四个结论中正确的为(　　)
A．当m＝－1时，曲线C是一个圆
B．当m＝－2时，曲线C的离心率为
C．当m＝2时，曲线C的渐近线方程为y＝±x
D．当m∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)时，曲线C的焦点坐标分别为和
解析：设动点为M(x，y)，当x≠0时，由条件可得
kMA1·kMA2＝·＝m，
即y2－mx2＝a2(x≠0)，
又A1(0，－a)，A2(0，a)的坐标满足y2－mx2＝a2.所以当m＝－1时，曲线C的方程为y2＋x2＝a2，C是圆心在原点的圆，故A正确．
当m＝－2时，曲线C的方程为＋＝1，C是焦点在y轴上的椭圆，c＝＝a，离心率为，故B正确．
当m＝2时，曲线C的方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y＝±x＝±x，故C错误．
当m∈(－∞，－1)时，曲线C的方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，由c＝＝a，可知焦点坐标分别为和；当m∈(0，＋∞)时，C是焦点在y轴上的双曲线，方程为－＝1，由c＝＝a，可知焦点坐标分别为和，故D正确．
答案：ABD