弯曲应力平面弯曲的概念.pptx

材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院13 3、工程实例、工程实例材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院2材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院34、平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力、平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力 在同一平面内。在同一平面内。平面弯曲亦称为对称弯曲平面弯曲亦称为对称弯曲纵向对称面纵向对称面MF1F2q材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院4FA AF1F2 B对称轴对称轴纵对称面纵对称面FB 对称弯曲对称弯曲(平面弯曲平面弯曲)时时梁变形后轴线所在平面梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合与外力所在平面相重合材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院5 特定条件下，发生非对称弯曲的梁变形后其轴特定条件下，发生非对称弯曲的梁变形后其轴线所在平面也会跟外力所在平面相重合，因而也属线所在平面也会跟外力所在平面相重合，因而也属于于平面弯曲平面弯曲。梁不具有纵对称面；梁不具有纵对称面；梁有纵对称面，但外力没有作用梁有纵对称面，但外力没有作用在纵对称面内，从而变形后轴线所在纵对称面内，从而变形后轴线所在平面与梁的纵对称面不一致。在平面与梁的纵对称面不一致。5 5、非对称弯曲、非对称弯曲yzFzyFqxq材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院6二、梁的计算简图二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。计算简图。1、构件本身的简化、构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。通常取梁的轴线来代替梁。2、载荷简化、载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座约束力）可简化作用于梁上的载荷（包括支座约束力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院7梁载荷的简化梁载荷的简化均匀分布载荷均匀分布载荷线性（非均匀）线性（非均匀）分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶 M分布载荷分布载荷载荷集度载荷集度 q(N/m)qq(x)F集中力集中力MM材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院8固定铰支座固定铰支座 2个约束，个约束，1个自由个自由度。如：桥梁下的固定度。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。支座，止推滚珠轴承等。可动铰支座可动铰支座 1个约束，个约束，2个自由度。个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。滚珠轴承等。FAxFAyFA3、支座简化、支座简化材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院9固定端固定端 3个约束，个约束，0个自由个自由度。如：游泳池的跳水度。如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支板支座，木桩下端的支座等。座等。FAxFAyMA4、梁的三种基本形式、梁的三种基本形式q(x)分布力分布力悬臂梁悬臂梁简支梁简支梁M集中力偶集中力偶材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院105、静定梁与静不定梁、静定梁与静不定梁静定梁：由静力学方程可求出全部约束力，如上述静定梁：由静力学方程可求出全部约束力，如上述 三种基本形式的静定梁。三种基本形式的静定梁。静不定梁：由静力学方程不可求出全部约束力。静不定梁：由静力学方程不可求出全部约束力。外伸梁外伸梁q 均布力均布力 集中力集中力F材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院11一、弯曲内力一、弯曲内力已知：如图，已知：如图，F，a，l。求：距求：距A端端x处截面上内力。处截面上内力。FFAyFAxFBAB解：解：求外力求外力4.2 4.2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩FalAB材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院12ABmmx求内力求内力截面法截面法AFAyFSMM 弯曲构件弯曲构件 内力内力剪力剪力 FS弯矩弯矩 M1、弯矩：、弯矩：M 构件受弯时，作用面垂直于构件受弯时，作用面垂直于横截面的内力偶矩。横截面的内力偶矩。CCFAyFAxFBFSFBFFB材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院132、剪力：、剪力：FS 构件受弯时，作用线平行于横截面的内力。构件受弯时，作用线平行于横截面的内力。3、内力的正负规定内力的正负规定剪力剪力FS:绕研究对象顺时针转为正；反之为负。绕研究对象顺时针转为正；反之为负。弯矩弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。FS(+)M(+)M(+)M()M()FS(+)FS()FS()材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院144、内力大小的求法：（按内力大小的求法：（按“设正法设正法”画画图）图）某截面剪力的大小等于该截面一侧（左或右）某截面剪力的大小等于该截面一侧（左或右）梁上所有外力的代数和。即梁上所有外力的代数和。即 对截面左侧梁而言，向上的外力对截面左侧梁而言，向上的外力引起正的剪力，向下的外力引起引起正的剪力，向下的外力引起负的剪力。右侧则相反负的剪力。右侧则相反q1FAMCq2 F1FSMCFSFB F2q3材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院15某截面弯矩的大小等于该截面一侧所有外力对某截面弯矩的大小等于该截面一侧所有外力对 此截面形心之矩的代数和。此截面形心之矩的代数和。向上的外力引起正的弯矩，向上的外力引起正的弯矩，向下的外力引起负的弯矩。向下的外力引起负的弯矩。q1FAMCq2 F1FSM1MCFSFB F2q3M2截面左侧梁上顺时针转向的力偶引起截面左侧梁上顺时针转向的力偶引起正的弯矩，逆正的弯矩，逆时针转向的力偶引起时针转向的力偶引起负的弯矩。右侧则相反负的弯矩。右侧则相反材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院16计算一个截面的内力，可直接根据方程由计算一个截面的内力，可直接根据方程由外力写出结果，而不必逐个作截面画受力外力写出结果，而不必逐个作截面画受力图再列方程求解。图再列方程求解。求弯矩时不论取截面左侧还是取截面右侧，求弯矩时不论取截面左侧还是取截面右侧，都是向上的外力引起正的弯矩，向下的外都是向上的外力引起正的弯矩，向下的外力引起负的弯矩，与求剪力不同。力引起负的弯矩，与求剪力不同。注意注意材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院17求下图所示简支梁求下图所示简支梁1-1与与2-2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解：1、求约束力、求约束力2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力3、计算、计算2-2截面的内力截面的内力F=8kNFAFBq=12kN/m材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院18二、剪力方程和弯矩方程二、剪力方程和弯矩方程 内力图内力图1、内力方程：内力与截面位置坐标、内力方程：内力与截面位置坐标(x)间的函数关系式。间的函数关系式。剪力方程剪力方程FS=FS(x)弯矩方程弯矩方程M=M(x)用方程表达内力沿轴线的变化规律，其优缺点是用方程表达内力沿轴线的变化规律，其优缺点是 用积分法求弯曲变形需要列出弯矩方程；用积分法求弯曲变形需要列出弯矩方程；方程依赖于坐标系，即同一段梁用不同坐标系写出的方程依赖于坐标系，即同一段梁用不同坐标系写出的 方程不同。且内力变化规律不直观，不方便。方程不同。且内力变化规律不直观，不方便。2、剪力图和弯矩图：、剪力图和弯矩图：剪力图剪力图FS=FS(x)的图线表示的图线表示弯矩图弯矩图M=M(x)的图线表示的图线表示将内力方程画成图像，观察内力变化规律既唯一又直观。将内力方程画成图像，观察内力变化规律既唯一又直观。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院19解：解：1 1、求约束力、求约束力2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程x 图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。图和弯矩图。BlAqFAM(x)FS(x)xAqFBFA材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院20BlAq3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图ql28l/2M图图 ql 2FS图图材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院21解：解：1 1、求约束力、求约束力2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 需分两段列出需分两段列出图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。作用。试作梁的剪力图和弯矩图。xBlAF abCFBFA材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院22xBlAF abCFBFAAC段段M(x)FAxAFS(x)CB段段FBBFS(x)M(x)材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院23FS 图图FblFalM图图FablF 3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图BlAabC材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院24FSM 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的突变方向沿集中力作用的方向。方向。FabClAB材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院25M 图示简支梁在图示简支梁在C点受矩为点受矩为M 的集中力偶作用。的集中力偶作用。作梁的剪力图和弯矩图。作梁的剪力图和弯矩图。BlACab2 2、列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程解解:1:1、求约束力、求约束力FA FB材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院26剪力方程无需分段：剪力方程无需分段：弯矩方程弯矩方程两段：两段：AC段段：M(x)xAFAFS(x)FA FBBlACabxMCB段段：BFS(x)M(x)FB材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院27FS图图lMlM图图MalMb3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图BlACabM材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院28abClABMFSM 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯矩在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。集中力偶的大小。结构对称、外力对称时，结构对称、外力对称时，剪力图为反对称，弯矩图为正对称。剪力图为反对称，弯矩图为正对称。结构对称、外力反对称时，结构对称、外力反对称时，剪力图为正对称，弯矩图为反对称。剪力图为正对称，弯矩图为反对称。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院29 3、FS,M 图图(剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图)的要求的要求 与梁轴对齐画，并注明内力性质；与梁轴对齐画，并注明内力性质；正的剪力画在梁的上方，负的剪力正的剪力画在梁的上方，负的剪力 画在梁的下方；画在梁的下方；弯矩无论正负均画在梁受拉的一侧；弯矩无论正负均画在梁受拉的一侧；标明特殊截面内力数值；标明特殊截面内力数值；标明内力的正负号；标明内力的正负号；注明内力单位。注明内力单位。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院30三、三、剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系对对dx 微段分析，由微段分析，由 Fy=0=0：dxxq(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxA剪力图上某点切线的斜率等剪力图上某点切线的斜率等于该点处载荷集度的大小于该点处载荷集度的大小q(x)向上为正向上为正y材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院31弯矩图上某点处切线的斜率等于该点剪力的大小。弯矩图上某点处切线的斜率等于该点剪力的大小。FS(x)+dFS(x)q(x)M(x)+dM(x)FS(x)M(x)dxA弯矩与载荷集度的关系是：弯矩与载荷集度的关系是：材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院32 剪力、弯矩与分布荷载间的积分关系剪力、弯矩与分布荷载间的积分关系由微分关系积分得由微分关系积分得条件：条件：x1到到x2间无集中力偶作用。间无集中力偶作用。条件：条件：x1到到x2间无集中力作用。间无集中力作用。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院33二、剪力、弯矩与外力间的关系二、剪力、弯矩与外力间的关系外外力力FS图图特特征征M图图特特征征无外力段无外力段q=0水平直线水平直线xFSFS 0FSFS 0q0材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院34剪力图和弯矩图的定性分析剪力图和弯矩图的定性分析FSFFF1F3F4FFF1M1F3F4M2qqF5F5MM1M2材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院35解解:特殊点特殊点端点；端点；分区点（外力变化点），分区点（外力变化点），即集中力（力偶）作用点，即集中力（力偶）作用点，分布力开始和结束点等；分布力开始和结束点等；驻点驻点(剪力为零，弯矩取剪力为零，弯矩取极值极值)。aaqaqA四、作内力图的简捷法四、作内力图的简捷法利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。用简捷作图法画图示梁的内力图。用简捷作图法画图示梁的内力图。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院36左端点：左端点：线形：根据线形：根据；及集中载荷点的规律确定及集中载荷点的规律确定。分区点分区点A：右端点：右端点：FSqa2MaaqaqAqa2qa材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院37 用简捷法画简支梁的内力图用简捷法画简支梁的内力图(AB=BC=CD=a)。解：求约束力解：求约束力A点右：点右：B点左：点左：B点右：点右：C点左：点左：M 的驻点的驻点：C点右：点右：D点左：点左：FSqa/2qa/2qa/23qa2/8qa2/2Mqa2/2qa2/2Dqqaqa2ABCFAFD材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院38外伸梁外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁内力图承受荷载如图所示，作该梁内力图解：解：1、求约束力、求约束力DABCFS+_3(kN)4.23.8Ex=2.1mM(kNm)3.81.4132.2_+FAFB材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院39B3aACMe=3qa2aq作图示梁的剪力图和弯矩图作图示梁的剪力图和弯矩图解：解：1 1、支座约束力为：、支座约束力为：FAFBFS图图5qa/3qa/38a/34qa2/3M图图qa2/185qa2/3材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院401m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m M=5kNmF=50kN绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图MA FAyFBy813129FS图图(kN)1.45 m 96.515.53155345M图图(kNm)材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院41适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必须与荷载满适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必须与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。五、按叠加原理作弯矩图五、按叠加原理作弯矩图1、叠加原理：、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起内力的代数和。作用于结构而引起内力的代数和。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院422、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 叠加方法叠加方法步骤：步骤：分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。的简单拼凑）。3、对称性与反对称性的应用、对称性与反对称性的应用 对称结构在对称载荷作用下，对称结构在对称载荷作用下，FS图反对称，图反对称，M图对称；图对称；对称结构在反对称载荷作用下，对称结构在反对称载荷作用下，FS图对称，图对称，M图反对称。图反对称。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院43 M1+=+M2+按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力，力P作用在梁作用在梁AB的中点处）。的中点处）。qFABFB=AAB+qM+材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院44FLL0.5F0.5F0.5FFLLL0.5FFFFLLL00.5FLM20.5FL+M1+0.5FLFLM+材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院452FCl/2ABFl/2l/2M（1）选定外力的不连续点）选定外力的不连续点(如如集中力、集中力偶的作用点，集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等分布力的起点和终点等)为控为控制截面，求出控制截面的弯矩制截面，求出控制截面的弯矩值。值。（2）分段画弯矩图。当控）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。当控制截面矩图是直线图形。当控制截面之间有荷载时，用叠加法作该之间有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。段的弯矩图。利用内力图的特性和弯矩图利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般叠加法，将梁弯矩图的一般作法作法归纳如下归纳如下：材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院46区段叠加法作弯矩图区段叠加法作弯矩图 设简支梁同时承受跨间设简支梁同时承受跨间荷载荷载q与端部力矩与端部力矩MA、MB的的作用。其弯矩图可由简支梁作用。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即简支梁弯矩图叠加得到。即+MBMAM0+MBMAM0BMBAqMAlB材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院47 改内力图之错。改内力图之错。qABFSxM+qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/4a2aaqa2材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院48 已知已知FS图，求外载及图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。图（梁上无集中力偶）。FS(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/m+M(kNm)+111.25材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院49一、平面刚架一、平面刚架1、平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相、平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相 互刚性连接而组成的结构。互刚性连接而组成的结构。特点：刚架各杆的内力有：特点：刚架各杆的内力有：FS、M、FN。2、内力图规定、内力图规定 弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。4.3 4.3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院50试作图示刚架的内力图。试作图示刚架的内力图。F1F2alABCFN 图图F2+FS图图F1+F1F1aM 图图F1aF1a+F2 l材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院51F=2qa BCA2aa2aDq2qaFN图2qa2qaFS图2qa26qa2M图试作图示刚架的内力图试作图示刚架的内力图材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院52二、平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆件二、平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆件。内力情况及绘制方法与平面刚架相同。内力情况及绘制方法与平面刚架相同。已知：如图所示，已知：如图所示，F及及R。试绘制。试绘制M、FS、FN 图。图。OFRqmmx解：建立极坐标，解：建立极坐标，O为极点，为极点，OB 极轴，极轴，q q表示截面表示截面mm的位置。的位置。AB材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院53OFRqmmxABABOM图图OO+FS图图FN 图图2FRFF+材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院54 起吊一根自重为起吊一根自重为q(N/m)的等截面梁。的等截面梁。问：起吊点位置问：起吊点位置x应为多少才最合理？应为多少才最合理？ql/2ql/2提示：使梁的最大正弯矩与提示：使梁的最大正弯矩与最大负弯矩的绝对值相等。最大负弯矩的绝对值相等。解解（x为负值无意义）为负值无意义）取取材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院551、弯曲构件横截面上的（内力）应力、弯曲构件横截面上的（内力）应力MFS内力内力剪力剪力FSFS 切应力切应力 弯矩弯矩MM正应力正应力 4.4 4.4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院562、研究方法、研究方法平面弯曲平面弯曲取纵向对称面研究取纵向对称面研究纵向对称面纵向对称面F1F2FA AF1F2 B对称轴对称轴纵对称面纵对称面FB 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院57纯纯 某段梁的内力只有弯矩没某段梁的内力只有弯矩没弯弯 有剪力时，该段梁的变形有剪力时，该段梁的变形曲曲 称为纯弯曲。如称为纯弯曲。如AB段。段。MM横横力力弯弯曲曲 某段梁的内力既有弯矩，又某段梁的内力既有弯矩，又有剪力时，该段梁的变形称有剪力时，该段梁的变形称为横力弯曲。如为横力弯曲。如AB以外段。以外段。FFaaABFQMFFFa材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院581 1、梁的纯弯曲实验梁的纯弯曲实验（一）变形几何规律（一）变形几何规律一、一、纯弯曲时梁横截面纯弯曲时梁横截面上的正应力上的正应力中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴 横向线横向线(a b、cd）变）变形后仍为直线，但有转动；形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。形后仍正交。bdacabcdMM材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院592、两个概念、两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性轴：中性层与横截面的交线。中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴意义：中性层将梁分成两个区域：凹侧缩短受压，意义：中性层将梁分成两个区域：凹侧缩短受压，凸侧伸长受拉。而中性轴上的正应力为零。凸侧伸长受拉。而中性轴上的正应力为零。弯曲变形可看作横截面绕自己的中性轴转动。弯曲变形可看作横截面绕自己的中性轴转动。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院603、推论推论平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。发生转动，距中性轴等高处，变形相等。横截面上只有正应力。横截面上只有正应力。y 轴轴纵对称轴纵对称轴 z 轴轴 中性轴中性轴 yz横截面横截面y y 坐标相同的点所在纵线坐标相同的点所在纵线变形相同，因而应力相同，变形相同，因而应力相同，所以所以 =(y)材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院614 4、几何方程、几何方程MMmmnnaabbmabmanbn材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院62CABryO1O2B1dqdxr 中性层的曲率半径中性层的曲率半径材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院63（二）物理关系（二）物理关系假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项 应力状态。应力状态。x x即横截面上的正应力即横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。向按直线规律变化。smax M材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院64（三）静力学关系（三）静力学关系 对称弯曲时此条件自动满足。对称弯曲时此条件自动满足。即中性轴即中性轴z是形心轴。是形心轴。得得zOyzdA s dAyx材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院65得得这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式。这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式。EIz称为梁的称为梁的抗弯刚度抗弯刚度。zOyzdA s dAyx材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院66 弯曲正应力计算公式弯曲正应力计算公式弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性轴上为零，距中性轴越远，数值越大。轴上为零，距中性轴越远，数值越大。smax M材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院67当中性轴当中性轴 z 不是横截面的对称轴时不是横截面的对称轴时Ozyyt,maxyc,max材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院68 当中性轴当中性轴 z 为横截面的对称轴时为横截面的对称轴时yzzybhsmax M 称为抗弯截面系数称为抗弯截面系数(模量模量)单位：单位：m3 或或mm3根据变形来判断根据变形来判断最大拉压应力，最大拉压应力，其数值相等。其数值相等。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院69简单截面的简单截面的抗弯截面系数抗弯截面系数 矩形截面矩形截面zybh 圆形截面圆形截面yzd材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院70(4)型钢截面：参见型钢表型钢截面：参见型钢表式中式中 空心圆截面空心圆截面DOdyz材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院71二、横力弯曲时梁横截面上的正应力二、横力弯曲时梁横截面上的正应力1、横力弯曲变形特点、横力弯曲变形特点 横力弯曲时：横力弯曲时：由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲；由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲；横向力还使各纵向线之间发生挤压。横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。际上都不再成立。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院722、横力弯曲时的正应力、横力弯曲时的正应力 采用纯弯曲正应力公式，当梁的跨高比采用纯弯曲正应力公式，当梁的跨高比 l/h 5 时，误差时，误差 d d 2 ，因此，对，因此，对细长梁，无论纯弯曲还是横力弯曲，横截细长梁，无论纯弯曲还是横力弯曲，横截面上的正应力都可用下式计算：面上的正应力都可用下式计算：材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院73图示简支梁由图示简支梁由56a号工字钢制成，已知号工字钢制成，已知F=150kN。试。试求危险截面上的最大正应力求危险截面上的最大正应力smax 和同一横截面上翼和同一横截面上翼缘与腹板交界处缘与腹板交界处a点处的正应力点处的正应力 a。B5 m10 mAF C 12.521166560za 解：解：1、作弯矩图如上，、作弯矩图如上，M375KNm材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院742、查型钢表得、查型钢表得56号工字钢号工字钢3、求正应力为、求正应力为 12.521166560za材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院752012020120单位：单位：mm如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。作用。试计算截面试计算截面B-B的最大拉应力与最大压应力。的最大拉应力与最大压应力。解：解：1、确定截面形心位置确定截面形心位置 选参考坐标系选参考坐标系zoy如图示，将截面分解为如图示，将截面分解为I I和和IIII两部分，形心两部分，形心C的纵坐标为的纵坐标为:III材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院762、计算截面惯性矩计算截面惯性矩2012020120单位：单位：mmIII材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院773、计算最大弯曲正应力计算最大弯曲正应力 在截面在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：大压应力，其值分别为：截面截面BB的弯矩为的弯矩为材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院781 1、两点假设、两点假设 切应力与剪力平行；切应力与剪力平行；与中性轴等距离处，与中性轴等距离处，切应力相等。切应力相等。2 2、研究方法：分离体平衡。、研究方法：分离体平衡。在梁上取微段如图在梁上取微段如图a；dxxFS(x)+dFS(x)M(x)M(x)+dM(x)FS(x)dx图图a图图bxyzFN2 1 1 bFN1在微段上取一块如图在微段上取一块如图b，平衡，平衡4.5 4.5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力一、一、矩形截面矩形截面梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院79由切应力互等定理由切应力互等定理其中其中Sz*为为y点以下的面积对中性轴之静矩；点以下的面积对中性轴之静矩；dxxFS(x)+dFS(x)M(x)M(x)+d M(x)FS(x)dx图图a图图bxyzFN2 1 1 bFN1材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院80 FS 截面剪力截面剪力 Sz 计算点外侧面积计算点外侧面积A 对中性轴的静矩对中性轴的静矩Iz整个截面对中性轴整个截面对中性轴 的形心主惯性矩的形心主惯性矩 b 计算点处截面宽度计算点处截面宽度 yFSyzhb A 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院81（上、下边缘上、下边缘）=0y=0（中性轴）（中性轴）3、矩形截面切应力的分布、矩形截面切应力的分布hzyyb 沿截面高度按抛物线规律分布沿截面高度按抛物线规律分布tmaxzyOtmax材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院821 1、腹板上的切应力、腹板上的切应力二、工字形截面梁二、工字形截面梁ydhzOdbtydAzyOsA*dx xdISFzz*S=t材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院83腹板与翼缘交界处腹板与翼缘交界处中性轴处中性轴处tmaxtmintmaxzyO材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院84ydhzOdby2 2、翼缘上的切应力、翼缘上的切应力因为翼缘的上、下表面无切应因为翼缘的上、下表面无切应力，所以翼缘上、下边缘处平行力，所以翼缘上、下边缘处平行于于y 轴的切应力为零；轴的切应力为零；(1)(1)平行于平行于y轴的切应力轴的切应力可见翼缘上平行于可见翼缘上平行于y轴的切应力很小，工程上一轴的切应力很小，工程上一般不考虑。般不考虑。计算表明，工字形截面梁的腹计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力板承担的剪力材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院85(2)(2)垂直于垂直于y轴的切应力轴的切应力ydhzOdb 1 1ydh 1 1 1 1材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院86即翼缘上垂直于即翼缘上垂直于y轴的切应轴的切应力随力随 按线性规律变化。按线性规律变化。且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了成了“切应力流切应力流”。zyOtmaxtmaxtmint1max材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院87三、圆截面梁三、圆截面梁关于其切应力分布的假设：关于其切应力分布的假设：1 1、离中性轴为任意距离、离中性轴为任意距离y的水的水平直线段上各点处的切应力汇平直线段上各点处的切应力汇交于一点；交于一点；2 2、这些切应力沿、这些切应力沿 y方向的分量方向的分量 y沿宽度相等。沿宽度相等。切应力的分布特征：切应力的分布特征：边缘各点切应力的方向与圆边缘各点切应力的方向与圆周相切；周相切；切应力分布与切应力分布与y 轴轴对称；与对称；与y轴相交各点处的轴相交各点处的切应力其方向与切应力其方向与y轴一致。轴一致。zyO maxkkOd材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院88最大切应力最大切应力 max 在中性轴在中性轴z处处yzOC2d/3pzyO maxkkOd材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院89 中性轴上各点：中性轴上各点：FS 均匀分布均匀分布四、薄壁圆环形截面四、薄壁圆环形截面t maxyz材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院901 1、危险面与危险点分析、危险面与危险点分析一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。性轴处。FS M 一、梁的正应力和切应力强度条件一、梁的正应力和切应力强度条件4.44.4 4.5 4.5 梁的抗弯强度条件梁的抗弯强度条件材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院912 2、正应力和切应力强度条件、正应力和切应力强度条件带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在述相同；还有一个可能危险的点，在FS 和和M均很大的截面均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）的腹、翼相交处。（以后讲）MFS 中性轴为横截面对称轴的等直梁中性轴为横截面对称轴的等直梁正应力强度条件正应力强度条件材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院92为充分发挥材料的强度，最合理的设计为为充分发挥材料的强度，最合理的设计为拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁Ozyyt，maxyc，max材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院93切应力强度条件切应力强度条件一般讲，梁的强度主要考虑正应力，但在下列情况下，一般讲，梁的强度主要考虑正应力，但在下列情况下，也校核切应力强度。也校核切应力强度。梁跨度较小，或支座附近有较大载荷；梁跨度较小，或支座附近有较大载荷；T形、工字形等薄壁截面梁；形、工字形等薄壁截面梁；焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、胶合面等进胶合面等进 行剪切强度计算。行剪切强度计算。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院94 校核强度校核强度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：确定载荷：确定载荷：3 3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：确定截面尺寸确定截面尺寸设计截面时设计截面时验证验证材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院95解：解：画内力图求危险面内力画内力图求危险面内力M+FQ+矩形矩形(b h=0.12m 0.18m）截面木截面木梁如图，梁如图，=7MPa，=0.9 M Pa，试求最大，试求最大正应力和最大切应力之正应力和最