【山东省】2017年高考数学(理科)-等差数列、等比数列--专题练习-答案.pdf

1/10 山东省山东省 20172017 年高考数学（理科）专题练习年高考数学（理科）专题练习 等差数列、等比数列等差数列、等比数列 答答 案案【真题回访真题回访】回访一回访一 等差数列基本量的运算等差数列基本量的运算 1C 2A 回访二回访二 等差数列基本量的运算等差数列基本量的运算 3B 464 热点题型热点题型 1 1 等差、等比数列的基本运算等差、等比数列的基本运算 【例 1】（1）B（2）D【变式训练变式训练一一】（1）6（2）13 热点题型热点题型 2 2 等差、等比数列的基本性质等差、等比数列的基本性质 【例 2】（1）D（2）C【变式训练变式训练二二】（1）A（2）C 热点题型热点题型 3 3 等差、等比数列的证明等差、等比数列的证明 【例 3】（1）1111nna（2）1=-【变式训练变式训练三三】（1）证明：由题设知11nnna aS=-，1211nnnaaS=-，2/10 两式相减得121()nnnnaaaa-=，由于10na，所以2nnaa-=.（2）由题设知11a=，1211a aS=，可得21a=.由（1）知，31a=+令2132aa a=+，解得4=.故24nnaa-=，由此可得21na是首项为 1，公差为 4 的等差数列，2143nan=-.2na是首项为 3，公差为 4 的等差数列，241nan=-.所以21nan=-，12nnaa-=，因此存在4=，使得数列 na为等差数列.专题限时集训专题限时集训（四）（四）等差数列、等比数列等差数列、等比数列【高考达标高考达标】一、选择题 1A 2B 3A 4D 5D 二、填空题 62016 720 828 三、解答题 9 解（1）当1n 时，由1111()q Sqa，得11a.当2n时，由)11(nnq Sqa，得1111()nnq Sqa，两式相减得1nnaqa.又1()0q q，所以 na是以 1 为首项，q 为公比的等比数列，故1nnaq.3/10 （2）证明：由（1）可知11nqnaSq，又3692SSS，得369112 1111qqaaa qqqq，化简得3692aaa，两边同除以 q 得2582aaa 故2a，8a，5a成等差数列.10 解（1）由题知1274,5 45 15,2adad 解得15,2,ad 故*27()nannN.（2）由270nan，得72n，即3n，所以当3n时，270nan，当4n时，270nan.已知26nSnn，39S=-，55S=-，所以51234535353()()213TaaaaaSSSSS-=.当3n时，26nnTSnn=-；当4n时，2333(261)8nnnTSSSSSnn-=.故223,618,6,4.nnn nTnnn【名校冲刺名校冲刺】一、选择题 1A 2A 3C 4D 二、填空题 56 660,1,.3()k+三、解答题 4/10 7 解（1）当2n时，221(222121)(4)nnnaSSnnnnn，当1n 时，1144 1aS，所以数列 na的通项公式为4nan.（2）由点(,)nnb a在函数2ylog x的图象上得2nnalog b，且4nan，所以42216nnnnba，故数列 nb是以 16 为首项，公比为 16 的等比数列，所以116 1 161616.1 1615nnnT 8 解（1）由已知可得112aSp，244Sp，即1244aap，232ap.由已知得2122aap，1p，13a，21nan，*nN.（2）证明：在等比数列 nb中，313ba，4249ba，则公比为433bb 由2313bb，得113b，数列 nb是以13为首项，以 3 为公比的等比数列，11 313311 36nnnT，即111133662nnnT 又11162T，116316nnTT，2n，*nN，数列16nT是以12为首项，以 3 为公比的等比数列.5/10 山东省山东省 20172017 年高考数学（理科）专题练习年高考数学（理科）专题练习 等差数列、等比数列等差数列、等比数列 解解 析析【真题回访真题回访】回访一回访一 等差数列基本量的运算等差数列基本量的运算 1C 法一：an是等差数列，设其公差为 d，S992(a1a9)9a527，a53 又a108，a14d3，a19d8，a11，d1.a100a199d199 198故选 C 法二：an是等差数列，S992(a1a9)9a527，a53 在等差数列an中，a5，a10，a15，a100成等差数列，且公差 da10a5835 故 a100a5(201)598故选 C 2A 法一：a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S5155()2aa5a35，故选 A 法二：a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a15 42d5(a12d)5，故选 A 回访二回访二 等比数列基本量的运算等比数列基本量的运算 3B a13，a1a3a521，33q23q421，1q2q47，解得 q22 或 q23(舍去).a3a5a7q2(a1a3a5)2 2142故选 B 464 设等比数列an的公比为 q，则由 a1a310，a2a4q(a1a3)5，知 q12.又 a1a1q210，a18 故 a1a2anan1q12(n1)23n12.记 tn227n212(n27n)，6/10 结合 nN*可知 n3 或 4 时，t 有最大值 6 又 y2t为增函数，从而 a1a2an的最大值为 2664 热点题型热点题型 1 1 等差、等比数列的基本运算等差、等比数列的基本运算 【例 1】（1）B 设等比数列an的公比为 q，由 a1a330，a2a4S4(a1a3)90，所以公比 qa2a4a1a33，首项 a1301q23，所以 an3n，bn1log33n1n，则数列bn是等差数列，前 15 项的和为2135，故选 B（2）D 由题意知 S1a1，S22a11，S44a16，因为 S1，S2，S4成等比数列，所以 S22S1 S4，即(2a11)2a1(4a16)，解得 a112，故选 D【变式训练变式训练一一】（1）6（1）由 a11，an1an3，得 an1an3，所以数列an是首项为 1，公差为 3 的等差数列.由 Snnnn2 351，即(3n17)(n6)0，解得 n6 或 n173(舍).（2）13 由题意知 S13S34S2，即 a13(a1a2a3)4(a1a2)，即 3a3a2，所以a3a213，即公比 q13.热点题型热点题型 2 2 等差、等比数列的基本性质等差、等比数列的基本性质 【例 2】（1）D（1）由题意得 S441(1)1qaq9，所以1q41q9a1.由 a1 a1q a1q2 a1q3(a21q3)2814得 a21q392.由等比数列的性质知该数列前4 项倒数的和为1a111q411qq41a1q3q1a1q39a19a21q32，故选 D（2）C 由 S1511515()2aa15 2a8215a80，S1611616()2aa16a8a920，a90，d0，故 Sn最大为 S8又 d0，所以an单调递减，因为前 8 项中 Sn递增，所以 Sn最大且 an取最小正值时Snan有最大值，即S8a8最大，故选 C【变式训练变式训练二二】（1）A（1）an是等差数列，a2a122a7，2a2a272a124a7a270.7/10 又 a70，a74 又bn是等比数列，b3b11b27a2716（2）C an为等比数列，a5a7是 a1a3与 a9a11的等比中项，(a5a7)2(a1a3)(a9a11)，故 a9a11a5a72a1a34282 同理 a9a11是 a5a7与 a13a15的等比中项，(a9a11)2(a5a7)(a13a15)，故 a13a15a9a112a5a72241 a9a11a13a15213 热点题型热点题型 3 3 等差、等比数列的证明等差、等比数列的证明 【例 3】解（1）证明：由题意得 a1S11a1，故 1，a111，故 a10.由 Sn1an，Sn11an1得 an1an1an，即 an1(1)an.由 a10，0 得 an0，所以an1an1.因此an是首项为11，公比为1的等比数列，于是 an111n1 （2）由（1）得 Sn11n.由 S53132得 1153132，即15132.解得 1【变式训练变式训练三三】.解（1）证明：由题设知 anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得 an1(an2an)an1，由于 an10，所以 an2an.（2）由题设知 a11，a1a2S11，可得 a21.由（1）知，a31.令 2a2a1a3，解得 4.故 an2an4，由此可得a2n1是首项为 1，公差为 4 的等差数列，a2n14n3.a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n4n1.所以 an2n1，an1an2，因此存在 4，使得数列an为等差数列.8/10 专题限时集训专题限时集训（四）（四）等差数列、等比数列等差数列、等比数列【高考达标高考达标】一、选择题 1A a2a3a4a338，所以 a32，所以 a7a3q48，从而 q22，所以 a1a3q21，故选 A 2B 法一：由题意得 a32，a72a4a34d2(a3d)6，解得 d4，故选 B 法二：在公差为 d 的等差数列an中，aman(mn)d(m，nN*).由题意得 a72a4a16da13d6，a3a12d2，解得 a16，d4.3A 若 q1，则 3a16a12 9a1，得 a10，矛盾，故 q1 所以31(1)1qaq61(1)1qaq 291(1)1qaq，解得 q312或 1(舍)，故选 A 4D 由已知条件知an是首项为 3，公差为 3 的等差数列.数列bn是首项为 3，公比为 3 的等比数列，an3n，bn3n.又 cnban33n，c2 01633 2 016272 016，故选 D 5D 根据等差数列的前 n 项和公式及SnTnn2n1(nN*)，可设 Snkn2，Tnkn(2n1)，又当 n2 时，anSnSn1k(2n1)，bnTnTn1k(4n1)，所以a5b6923，故选 D 二、填空题 62016 在等差数列an中，由 S32a3知，3a22a3，而 S515，则 a33，于是 a22，从而其公差为 1，首项为 1，因此 ann，故 a2 0162 016 720 由等差数列的性质可得 a335，a433，故 d2，an35(n3)(2)412n，易知数列前 20项大于 0，从第 21 项起为负项，故使得 Sn达到最大值的 n 是 20.828 由题意可知，公比 q3a6a327，S6S31q61q31q312728 三、解答题 9解（1）当 n1 时，由(1q)S1qa11，得 a11.当 n2 时，由(1q)Snqan1，得(1q)Sn1qan11，两式相减得 anqan1 又 q(q1)0，所以an是以 1 为首项，q 为公比的等比数列，故 anqn1（2）证明：由（1）可知 Sn1anq1q，9/10 又 S3S62S9，得1a3q1q1a6q1qa9q1q，化简得 a3a62a9，两边同除以 q 得 a2a52a8 故 a2，a8，a5成等差数列.10解（1）由题知 2a17d4，5a15 42d5，解得 a15，d2，故 an 2n7(nN*).（2）由 an2n70，得 n72，即 n3，所以当 n3 时，an2n70.易知 Snn26n，S39，S55，所以 T5(a1a2a3)a4a5S3(S5S3)S52S313.当 n3 时，TnSn6nn2；当 n4 时，TnS3(SnS3)Sn2S3n26n18.故 Tn 6nn2，n3，n26n18，n4.【名校冲刺名校冲刺】一、选择题 1A 设等差数列an的公差为 d，因为 S22a1d10，S552(a1a5)5(a12d)55，所以 d4，所以kPQan2ann2n2d2d4，故选 A 2A 根据已知得 3anan1，数列an是等比数列且其公比为 3，a5a7a9(a2a4a6)339 3335，log13(a5a7a9)log13355 3C 第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有 a41a42a433a42，同理第二行也有 a51a52a533a52，第三行也有 a61a62a633a62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有 a42a52a623a52，所以 a41a42a43a51a52a53a61a62a633a423a523a623 3a5263，所以 a527，故选 C 4D 由 2nan(n1)an1(n1)an1得 nan(n1)an1(n1)an1nan，又因为 1 a11，2 a21 a15，所以数列nan为首项为 1，公差为 5 的等差数列，则 20a20119 5，解得 a20245，故选 D 二、填空题 56 由题意，得 Sk2Skak1ak28，SkSk2ak1ak4(k2)，两式相减，得 4d4，即 d1由Skka1kk20，得 a1k12，将 a1k12代入 ak1ak4，得(k1)(2k3)k24，解得 k6 10/10 60，63(1，)由题意得 logkan2n2，则 ank2n2，an1ankn2k2n2k2，即数列an是以 k4为首项，k2为公比的等比数列，cnanlg an(2n2)k2n2lg k，要使 cncn1对一切 nN*恒成立，即(n1)lg k1 时，lg k0，n1(n2)k2对一切 nN*恒成立；当 0k1 时，lg k(n2)k2对一切 nN*恒成立，只需k2n1n2min.n1n211n2单调递增，当 n1 时，n1n2取得最小值，即n1n2min23，k223，且 0k1，0k63.综上，k0，63(1，).三、解答题 7解（1）当 n2 时，anSnSn12n22n2(n1)22(n1)4n，当 n1 时，a1S144 1，所以数列an的通项公式为 an4n.（2）由点(bn，an)在函数 ylog2 x 的图象上得 anlog2bn，且 an4n，所以 bn2an24n16n，故数列bn是以 16 为首项，公比为 16 的等比数列，1 所以 Tnn16(1 16)1 1616n11615.8解（1）由已知可得 a1S1p2，S24p4，即 a1a24p4，a23p2.由已知得 a2a12p2，p1，a13，an2n1，nN*.（2）证明：在等比数列bn中，b3a13，b4a249，则公比为b4b33由 b3b1 32，得 b113，数列bn是以13为首项，以 3 为公比的等比数列，Tnn1(13)31316(3n1)，即 Tn1616 3n12 3n1 又T11612，Tn16Tn1163，n2，nN*，数列Tn16是以12为首项，以 3 为公比的等比数列.