资源描述
3.1.1 倾斜角与斜率
知识导图
学法指导
1.倾斜角和斜率都是表示直线方向的几何量，它们分别从“形”和“数”两方面反映直线的倾斜程度．
2．求直线斜率的方法有：定义法、公式法等．
3．用正切函数(k＝tanα)的图象来掌握倾斜角和斜率之间的关系并熟记．
4．由两点坐标计算直线的斜率，为求直线的方程奠定基础．
高考导航
1.已知直线的倾斜角(斜率)，求直线的斜率(倾斜角)的问题，一般以选择题、填空题的形式出现，分值5分．
2．过两点的直线的斜率公式是高考的高频考点，常与其他知识相结合，各种题型均有出现，分值4～6分.
知识点一 直线的倾斜角
1．直线l的倾斜角的概念
一个前提：直线l与x轴相交；
一个基准：取x轴作为基准；
两个方向：x轴正方向与直线l向上方向．
2．倾斜角的范围
当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为[0°，180°)．
1.倾斜角定义中含有三个条件：
①x轴正方向；②直线向上的方向；
③小于180 °的非负角．
2．平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．
知识点二 直线的斜率
1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率．
2．记法：斜率常用k表示，即k＝tan_α.
3．斜率与倾斜角的对应关系.
图示
倾斜角
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率
0
k>0
不存在
k<0
4.公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k＝.
直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90 °时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．( )
(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.( )
(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanα.( )
(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．[2019·山东省枣庄市校级月考]给出下列结论：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0,1)；⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝，则α＝45°.其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，②③错误．④中当α＝0°时，sinα＝0，故④错误，⑤中α有可能为135°，故⑤错误．
答案：A
3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )
A. B.
C．1 D.
解析：由题意可知，直线l的斜率k＝tan30°＝.
答案：A
4．[2019·泰州校级月考]经过点(0,2)和点(3,0)的直线的斜率为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：斜率k＝＝－.
答案：C
类型一 求直线的倾斜角
例1 求图中各直线的倾斜角．
【解析】 (1)如图(1)，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°.
(2)如图(2)，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°.
(3)如图(3)，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°.
求直线的倾斜角，关键是依据平面几何知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的定义及倾斜角的范围．
方法归纳
根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图；然后根据定义找直线向上的方向与x轴的正方向的夹角，即为直线的倾斜角．画图时一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论时的分类主要有0°、锐角、直角和钝角四类．
跟踪训练1 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α.如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．当0°≤α ＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
解析：根据题意，画出图形，如图所示．A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过图形可知：当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°，故选D.
答案：D
条件中未指明α的范围，画出图形考虑到倾斜角的范围，对α分类讨论．
类型二 直线的斜率
例2 (1)已知两条直线的倾斜角分别为60°，135°，求这两条直线的斜率；
(2)已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率；
(3)求经过两点A(2,3)，B(m,4)的直线的斜率．
【解析】 (1)直线的斜率分别为k1＝tan60°＝，k2＝tan135°＝－1；
(2)直线AB的斜率kAB＝＝；直线BC的斜率kBC＝＝＝－；
直线AC的斜率kAC＝＝＝1.
(3)当m＝2时，直线AB的斜率不存在；当m≠2时，直线AB的斜率为kAB＝＝.
1．利用k＝tanα求斜率．
2．当x1≠x2时，利用k＝求斜率．
方法归纳
(1)求直线的斜率通常有两种方法：一是已知直线的倾斜角α(α≠90°)时，可利用斜率的定义，即k＝tanα求得；二是已知直线所经过的两点的坐标时，可利用过两点的直线的斜率公式计算求得．
(2)使用斜率公式k＝求斜率时，要注意其前提条件是x1≠x2，若x1＝x2，即两点的横坐标相等时，直线斜率不存在．
(3)利用斜率公式k＝时，如果两点的横坐标中含有参数，则应讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率．,
跟踪训练2 已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1,1)，B(1,1)，C(1，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率．
解析：kAB＝＝0，kAC＝＝－1.
∵B，C两点的横坐标相等，∴直线BC的斜率不存在．
已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等．
类型三 直线的倾斜角、斜率的综合应用
例3 已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直接l过点P(3,3)且与线段MN相交，试求l的斜率k的取值范围．
【解析】 过点P且与线段MN相交的直线，必在PM与PN之间(含直线PM、PN)．
因为kPN＝＝，kPM＝＝6，
且在过P点且与线段MN相交的直线中，不含垂直于x轴的直线，所以直线l的斜率k的取值范围为≤k≤6.
利用斜率公式找到临界条件，建立等量关系式，然后确定斜率k的取值范围．
方法归纳
已知直线的倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，要注意对倾斜角按锐角和钝角两种情况分别进行分析求解；已知斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时，应对斜率分正值和负值两种情况分别进行分析求解．
跟踪训练3 已知经过两点A(5，m)和B(m,8)的直线的斜率大于1，求实数m的取值范围．
解析：由题意得>1，∴－1>0，
∴>0，即<0，∴5<m<.
故m的取值范围为.
直接依据斜率公式建立不等式，然后求解不等式，即可得到所求的结果.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知直线过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为( )
A．3 B．－2
C．2 D．不存在
解析：由题意可得AB的斜率为k＝＝－2.
答案：B
2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A．(4,1)与(－4，－1) B．(0,1)与(1,0)
C．(1,4)与(－1,4) D．(－4,1)与(－4，－1)
解析：选项A，B，C，D中，只有D选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．
答案：D
3．[2019·孝感检测]已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°
C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°
解析：直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
答案：C
4．直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为( )
A．1 B.
C. D．－
解析：∵tanα＝，0°≤α<180°，
∴α＝30°，∴2α＝60°，
∴k＝tan2α＝.故选B.
答案：B
5．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
解析：∵kMN＝＝1，∴m＝1.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若直线l的斜率k的取值范围是，则该直线的倾斜角α的取值范围是________．
解析：当0≤k<时，因为tan0°＝0，tan30°＝，所以0°≤α<30°.
答案：[0°，30°)
7．已知A(2，－3)，B(4,3)，C三点在同一条直线上，则实数m的值为________．
解析：因为A、B、C三点在同一条直线上，所以有kAB＝kAC，即＝，解得m＝12.
答案：12
8．若ab<0，则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是________．
解析：kPQ＝＝<0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2,3)，B(4,5)；
(2)C(－2,3)，D(2，－1)；
(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．
解析：(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即tanα＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
(2) 存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tanα＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
10．如图，直线l2的倾斜角α2＝120°，直线l1的倾斜角为α1，直线l1⊥l2，求直线l1的斜率．
解析：由平面几何知识可得α2＝α1＋90°，
所以α1＝α2－90°＝120°－90°＝30°，
所以直线l1的斜率为k＝tan30°＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．给出下列说法：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：显然①②③正确，④错误．
答案：C
12．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为________．
解析：因为直线的倾斜角为钝角，所以1－a≠3，即a≠－2.且<0，
整理得<0，①当a＋2>0时，a－1<0.
解得－2<a<1.②当a＋2<0时，a－1>0，
此时无解．
综上可得－2<a<1.
答案：(－2,1)
13．已知直线l的倾斜角α的取值范围为45°≤α≤135°，求直线l的斜率的取值范围．
解析：当α＝90°时，l的斜率不存在；
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k.
当45°≤α＜90°时，k＝tanα∈[1，＋∞)；
当90°＜α≤135°时，k＝tanα∈(－∞，－1]．
∴斜率k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
14．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．
解析：∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，
∴kAB＝＝2，kAC＝＝2.
∴kAB＝kAC.
∵直线AB与直线AC的斜率相同且过同一点A，
∴直线AB与直线AC为同一直线．
故A，B，C三点共线.
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