2022年初中数学中考绥化试题解析.docx

黑龙江省绥化市2022年中考数学试卷
一、填空题〔共11小题，每题3分，总分值33分〕
1．〔3分〕〔2022•绥化〕按如下列图的程序计算．假设输入x的值为3，那么输出的值为　﹣3　．
考点：
代数式求值．
专题：
图表型．
分析：
根据x的值是奇数，代入下边的关系式进行计算即可得解．
解答：
解：x=3时，输出的值为﹣x=﹣3．
故答案为：﹣3．
点评：
此题考查了代数式求值，准确选择关系式是解题的关键．
2．〔3分〕〔2022•绥化〕函数y=中自变量x的取值范围是　x＞3　．
考点：
函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
专题：
计算题．
分析：
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式即可求解．
解答：
解：依题意，得x﹣3＞0，
解得x＞3．
点评：
此题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：〔1〕当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；〔2〕当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；〔3〕当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．
3．〔3分〕〔2022•绥化〕如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件　AE=CB　，使得△EAB≌△BCD．
考点：
全等三角形的判定．
专题：
开放型．
分析：
可以根据全等三角形的不同的判定方法添加不同的条件．
解答：
解：∵∠A=∠C=90°，AB=CD，
∴假设利用“SAS〞，可添加AE=CB，
假设利用“HL〞，可添加EB=BD，
假设利用“ASA〞或“AAB〞，可添加∠EBD=90°，
假设添加∠E=∠DBC，看利用“AAS〞证明．
综上所述，可添加的条件为AE=CB〔或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等〕．
故答案为：AE=CB．
点评：
此题主要考查了全等三角形的判定，开放型题目，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相同．
4．〔3分〕〔2022•绥化〕在九张质地都相同的卡片上分别写有数字﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，从中任意抽取一张卡片，那么所抽卡片上数字的绝对值不大于2的概率是．
考点：
概率公式．3718684
分析：
让绝对值不大于2的数的个数除以数的总数即为所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率．
解答：
解：∵数的总个数有9个，绝对值不大于2的数有﹣2，﹣1，0，1，2共5个，
∴任意抽取一张卡片，那么所抽卡片上数字的绝对值不大于2的概率是．
故答案为．
点评：
此题考查概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到绝对值不大于2的数的个数是解决此题的易错点．
5．〔3分〕〔2022•绥化〕计算：=．
考点：
分式的加减法．
分析：
首先通分，然后根据同分母的分式加减运算法那么求解即可求得答案．注意运算结果需化为最简．
解答：
解：
=﹣
=
=
=．
故答案为：．
点评：
此题考查了分式的加减运算法那么．此题比较简单，注意运算要细心，注意运算结果需化为最简．
6．〔3分〕〔2022•绥化〕由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如下列图，那么组成这个几何体的小正方体的个数可能是　4或5　．
考点：
由三视图判断几何体．
分析：
易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可．
解答：
解：由俯视图易得最底层有3个立方体，由主视图可得第二层左边第一列有1个正方体或2个正方体，那么共有4或5个正方体组成．
点评：
考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也表达了对空间想象能力方面的考查．
7．〔3分〕〔2022•绥化〕如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，假设⊙O的半径为2，那么弦AB的长为　2．
考点：
垂径定理；勾股定理．
专题：
计算题．
分析：
连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长．
解答：
解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=OC=1，
∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点，
那么AB=2AD=2=2=2．
故答案为：2．

点评：
此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解此题的关键．
8．〔3分〕〔2022•绥化〕如下列图，以O为端点画六条射线后OA，OB，OC，OD，OE，O后F，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，假设将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2022个点在射线　OC　上．
考点：
规律型：图形的变化类．
分析：
根据规律得出每6个数为一周期．用2022除以3，根据余数来决定数2022在哪条射线上．
解答：
解：∵1在射线OA上，
2在射线OB上，
3在射线OC上，
4在射线OD上，
5在射线OE上，
6在射线OF上，
7在射线OA上，
…
每六个一循环，
2022÷6=335…3，
∴所描的第2022个点在射线和3所在射线一样，
∴所描的第2022个点在射线OC上．
故答案为：OC．
点评：
此题主要考查了数字变化规律，根据数的循环和余数来决定数的位置是解题关键．
9．〔3分〕〔2022•绥化〕某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位．要求租用的车辆不留空座，也不能超载．有　2　种租车方案．
考点：
二元一次方程的应用．3718684
分析：
设租用每辆8个座位的车x辆，每辆有4个座位的车y辆，根据车座位数等于学生的人数列出二元一次方程，再根据x、y都是正整数求解即可．
解答：
解：设租用每辆8个座位的车x辆，每辆有4个座位的车y辆，
根据题意得，8x+4y=20，
整理得，2x+y=5，
∵x、y都是正整数，
∴x=1时，y=3，
x=2时，y=1，
x=3时，y=﹣1〔不符合题意，舍去〕，
所以，共有2种租车方案．
故答案为：2．
点评：
此题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于车辆数是正整数．
10．〔3分〕〔2022•绥化〕假设关于x的方程=+1无解，那么a的值是　2　．
考点：
分式方程的解．
分析：
把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的值．
解答：
解：x﹣2=0，解得：x=2．
方程去分母，得：ax=4+x﹣2，
把x=2代入方程得：2a=4+2﹣2，
解得：a=2．
故答案是：2．
点评：
首先根据题意写出a的新方程，然后解出a的值．
11．〔3分〕〔2022•绥化〕直角三角形两直角边长是3cm和4cm，以该三角形的边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的外表积是　24π，36π，π　cm2．〔结果保存π〕
考点：
圆锥的计算；点、线、面、体．
专题：
分类讨论．
分析：
先利用勾股定理进行出斜边=5〔cm〕，然后分类讨论：当以3cm的边所在直线为轴旋转一周时；当以4cm的边所在直线为轴旋转一周时；当以5cm的边所在直线为轴旋转一周时，再利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公式计算即可．
解答：
解：三角形斜边==5〔cm〕，
当以3cm的边所在直线为轴旋转一周时，其所得到的几何体的外表积=π•42+•5•2π•4=36π〔cm2〕；
当以4cm的边所在直线为轴旋转一周时，其所得到的几何体的外表积=π•32+•5•2π•3=24π〔cm2〕；
当以5cm的边所在直线为轴旋转一周时，其所得到的几何体为共一个底面的两圆锥，其底面圆的面积=cm，所以此几何体的外表积=•2π••3+•2π••4=π〔cm2〕．
故答案为24π，36π，π．
点评：
此题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
二、选择题〔共9小题，每题3分，总分值27分〕
12．〔3分〕〔2022•绥化〕以下计算正确的选项是〔　　〕

A．
a3•a3=2a3
B．
a2+a2=2a4
C．
a8÷a4=a2
D．
〔﹣2a2〕3=﹣8a6
考点：
同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．3718684
分析：
利用同底数的幂的乘法、除法以及合并同类项的法那么即可求解．
解答：
解：A、a3•a3=a6，选项错误；
B、a2+a2=2a2，选项错误；
C、a8÷a4=a4，选项错误；
D、正确．
应选D．
点评：
此题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法那么才能做题．
13．〔3分〕〔2022•绥化〕以下几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔　　〕

A．
等边三角形
B．
矩形
C．
平行四边形
D．
等腰梯形
考点：
中心对称图形；轴对称图形．3718684
分析：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
解答：
解：A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
应选B．
点评：
此题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
14．〔3分〕〔2022•绥化〕如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，那么的值为〔　　〕

A．
1
B．

C．

D．

考点：
三角形中位线定理；平行四边形的性质．
分析：
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出H是AO的中点，再根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO，然后求出CH=3AH，再求解即可．
解答：
解：∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AH=HO，
∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴AO=CO，
∴CH=3AH，
∴=．
应选C．
点评：
此题考查了平行四边形对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质是解题的关键．
15．〔3分〕〔2022•绥化〕对于反比例函数y=，以下说法正确的选项是〔　　〕

A．
图象经过点〔1，﹣3〕
B．
图象在第二、四象限

C．
x＞0时，y随x的增大而增大
D．
x＜0时，y随x增大而减小
考点：
反比例函数的性质．
分析：
根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析得出即可．
解答：
解：A、∵反比例函数y=，∴xy=3，故图象经过点〔1，3〕，故此选项错误；
B、∵k＞0，∴图象在第一、三象限，故此选项错误；
C、∵k＞0，∴x＞0时，y随x的增大而减小，故此选项错误；
D、∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故此选项正确．
应选：D．
点评：
此题主要考查了反比例函数的性质，根据解析式确定函数的性质是解题关键．
16．〔3分〕〔2022•绥化〕在一次献爱心的捐赠活动中，某班45名同学捐款金额统计如下：
金额〔元〕
20
30
35
50
100
学生数〔人〕
5
10
5
15
10
在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是〔　　〕

A．
30，35
B．
50，35
C．
50，50
D．
15，50
考点：
众数；中位数．
分析：
根据众数、中位数的定义，结合表格数据进行判断即可．
解答：
解：捐款金额学生数最多的是50元，
故众数为50；
共45名学生，中位数在第23名学生处，第23名学生捐款50元，
故中位数为50；
应选C．
点评：
此题考查了众数及中位数的知识，解答此题的关键是熟练掌握众数及中位数的定义．
17．〔3分〕〔2022•绥化〕如图，在平面直角坐标系中，长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，那么点P的纵坐标y与P所走过的路程S之间的函数关系用图象表示大致是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
动点问题的函数图象．
分析：
根据那么点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4局部，当P点在AB上，当P点在BC上，当P点在CD上，点P在AD上即可得出图象．
解答：
解：∵长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，
那么点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4局部，
∴P点在AB上，此时纵坐标越来越小，最小值是1，
P点在BC上，此时纵坐标为定值1．
当P点在CD上，此时纵坐标越来越大，最大值是2，
P点在AD上，此时纵坐标为定值2．
应选D．
点评：
此题主要考查了动点问题的函数图象问题，解决问题的关键是分解函数得出不同位置时的函数关系，进而得出图象．
18．〔3分〕〔2022•绥化〕如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，那么AE的长为〔　　〕

A．
4
B．
5
C．
6
D．
7
考点：
圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．
分析：
根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，那么AC=x+4，利用对应边成比例，可求出x的值．
解答：
解：设AE=x，那么AC=x+4，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CDB=∠BAC〔圆周角定理〕，
∴∠CAD=∠CDB，
∴△ACD∽△DCE，
∴=，即=，
解得：x=5．
应选B．
点评：
此题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE．
19．〔3分〕〔2022•绥化〕：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2〔AD2+AB2〕，
其中结论正确的个数是〔　　〕

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
专题：
计算题．
分析：
①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．
解答：
解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE〔SAS〕，
∴BD=CE，本选项正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
那么BD⊥CE，本选项正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
④∵BD⊥CE，
∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴DE=AD，即DE2=2AD2，
∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2，
而BD2≠2AB2，本选项错误，
综上，正确的个数为3个．
应选C
点评：
此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
20．〔3分〕〔2022•绥化〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是〔　　〕

A．
1
B．

C．

D．

考点：
翻折变换〔折叠问题〕．
分析：
先根据勾股定理计算出AB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC=30°，在根据折叠的性质得BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，由于AD⊥ED得BC∥DE，所以∠CBF=∠BED=30°，在Rt△BCF中可计算出CF=，BF=2CF=，那么EF=2﹣，在Rt△DEF中计算出FD=1﹣，ED=﹣1，然后利用S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE=2S△ABD+S△ADE计算即可．
解答：
解：∵∠C=90°，AC=，BC=1，
∴AB==2，
∴∠BAC=30°，
∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，
∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，
∵AD⊥ED，
∴BC∥DE，
∴∠CBF=∠BED=30°，
在Rt△BCF中，CF==，BF=2CF=，
∴EF=2﹣，
在Rt△DEF中，FD=EF=1﹣，ED=FD=﹣1，
∴S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE
=2S△ABD+S△ADE
=2×BC•AD+AD•ED
=2××1×〔﹣1〕+×〔﹣1〕〔﹣1〕
=1．
应选A．
点评：
此题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．
三、解答题〔共8小题，总分值60分〕
21．〔5分〕〔2022•绥化〕如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC的长．
考点：
解直角三角形．
分析：
首先解Rt△ABD，求出AD、BD的长度，再解Rt△ADC，求出DC的长度，然后由BC=BD+DC即可求解．
解答：
解：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ABD中，∵AB=8，∠ABD=30°，
∴AD=AB=4，BD=AD=4．
在Rt△ADC中，∵∠CAD=45°，∠ADC=90°，
∴DC=AD=4，
∴BC=BD+DC=4+4．
点评：
此题考查了解直角三角形的知识，属于根底题，解答此题的关键是在直角三角形中利用解直角三角形的知识求出BD、DC的长度．
22．〔6分〕〔2022•绥化〕如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成以下步骤：
〔1〕画出将△ABC向右平移3个单位后得到的△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A2B1C2；
〔2〕求线段B1C1旋转到B1C2的过程中，点C1所经过的路径长．
考点：
作图-旋转变换；作图-平移变换．3718684
分析：
〔1〕根据平移的性质得出对应点位置以及利用旋转的性质得出对应点位置画出图形即可；
〔2〕根据弧长计算公式求出即可．
解答：
解：〔1〕如下列图：

〔2〕点C1所经过的路径长为：=2π．

点评：
此题主要考查了图形的旋转与平移变换以及弧长公式应用等知识，根据得出对应点位置是解题关键．
23．〔6分〕〔2022•绥化〕为了解今年全县2000名初四学生“创新能力大赛〞的笔试情况．随机抽取了局部参赛同学的成绩，整理并制作如下列图的图表〔局部未完成〕．请你根据表中提供的信息，解答以下问题：
〔1〕此次调查的样本容量为　300　；
〔2〕在表中：m=　120　；n=　0.3　；
〔3〕补全频数分布直方图；
〔4〕如果比赛成绩80分以上〔含80分〕为优秀，那么你估计该县初四学生笔试成绩的优秀人数大约是　1200　名．
分数段
频数
频率
60≤x＜70
30
0.1
70≤x＜80
90
n
80≤x＜90
m
0.4
90≤x＜100
60
0.2
考点：
频数〔率〕分布直方图；用样本估计总体；频数〔率〕分布表．
分析：
〔1〕根据第一组的频数是30，频率是0.1，以及频率公式即可求解；
〔2〕依据频率公式：频率=即可求解；
〔3〕作出第三组对应的矩形即可；
〔4〕利用总人数2000乘以笔试成绩的优秀的频率即可求解．
解答：
解：〔1〕样本容量是：30÷0.1=300；

〔2〕m=300×0.4=120，n==0.3；

〔3〕画图如下：

〔4〕2000×〔0.4+0.2〕=1200〔人〕．
点评：
此题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
24．〔7分〕〔2022•绥化〕如图，抛物线y=〔x﹣2〕〔x+a〕〔a＞0〕与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
〔1〕假设抛物线过点M〔﹣2，﹣2〕，求实数a的值；
〔2〕在〔1〕的条件下，解答以下问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
考点：
二次函数综合题
专题：
综合题．
分析：
〔1〕将M坐标代入抛物线解析式求出a的值即可；
〔2〕①求出的a代入确定出抛物线解析式，令y=0求出x的值，确定出B与C坐标，令x=0求出y的值，确定出E坐标，进而得出BC与OE的长，即可求出三角形BCE的面积；②根据抛物线解析式求出对称轴方程为直线x=﹣1，根据C与B关于对称轴对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为y=kx+b，将B与E坐标代入求出k与b的值，确定出直线BE解析式，将x=﹣1代入直线BE解析式求出y的值，即可确定出H的坐标．
解答：
解：〔1〕将M〔﹣2，﹣2〕代入抛物线解析式得：﹣2=〔﹣2﹣2〕〔﹣2+a〕，
解得：a=4；

〔2〕①由〔1〕抛物线解析式y=〔x﹣2〕〔x+4〕，
当y=0时，得：0=〔x﹣2〕〔x+4〕，
解得：x1=2，x2=﹣4，
∵点B在点C的左侧，
∴B〔﹣4，0〕，C〔2，0〕，
当x=0时，得：y=﹣2，即E〔0，﹣2〕，
∴S△BCE=×6×2=6；
②由抛物线解析式y=〔x﹣2〕〔x+4〕，得对称轴为直线x=﹣1，
根据C与B关于抛物线对称轴直线x=﹣1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，
设直线BE解析式为y=kx+b，
将B〔﹣4，0〕与E〔0，﹣2〕代入得：，
解得：，
∴直线BE解析式为y=﹣x﹣2，
将x=﹣1代入得：y=﹣2=﹣，
那么H〔﹣1，﹣〕．

点评：
此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，对称的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解此题的关键．
25．〔8分〕〔2022•绥化〕2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时〔从甲组出发时开始计时〕．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲〔千米〕、y乙〔千米〕与时间x〔小时〕之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决以下问题：
〔1〕由于汽车发生故障，甲组在途中停留了小时；
〔2〕甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米
〔3〕为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定
考点：
一次函数的应用4
专题：
阅读型；图表型．
分析：
〔1〕由于线段AB与x轴平行，故自3时到4.9时这段时间内甲组停留在途中，所以停留的时间为1.9时；
〔2〕观察图象可知点B的纵坐标就是甲组的汽车在排除故障时距出发点的路程的千米数，所以求得点B的坐标是解答〔2〕题的关键，这就需要求得直线EF和直线BD的解析式，而EF过点〔1.25，0〕，〔7.25，480〕，利用这两点的坐标即可求出该直线的解析式，然后令x=6，即可求出点C的纵坐标，又因点D〔7，480〕，这样就可求出CD即BD的解析式，从而求出B点的坐标；
〔3〕由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远，在点B处时，x=4.9，求出此时的y乙﹣y甲，在点D有x=7，也求出此时的y甲﹣y乙，分别同25比较即可．
解答：
解：〔1〕1.9；〔2分〕

〔2〕设直线EF的解析式为y乙=kx+b
∵点E〔1.25，0〕、点F〔7.25，480〕均在直线EF上
∴〔3分〕
解得∴直线EF的解析式是y乙=80x﹣100；〔4分〕
∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，
∴点C的纵坐标为80×6﹣100=380；
∴点C的坐标是〔6，380〕；〔5分〕
设直线BD的解析式为y甲=mx+n；
∵点C〔6，380〕、点D〔7，480〕在直线BD上，
∴；〔6分〕
解得；∴BD的解析式是y甲=100x﹣220；〔7分〕
∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y甲得B〔4.9，270〕，
∴甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米．〔8分〕

〔3〕符合约定；
由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远．
在点B处有y乙﹣y甲=80×4.9﹣100﹣〔100×4.9﹣220〕=22千米＜25千米〔10分〕
在点D有y甲﹣y乙=100×7﹣220﹣〔80×7﹣100〕=20千米＜25千米〔11分〕
∴按图象所表示的走法符合约定．〔12分〕
点评：
此题是依据函数图象提供的信息，解答相关的问题，充分表达了“数形结合〞的数学思想，是中考的常见题型，其关键是认真观察函数图象、结合条件，正确地提炼出图象信息．
26．〔8分〕〔2022•绥化〕，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点〔点D不与点B，C重合〕．以AD为边做正方形ADEF，连接CF
〔1〕如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
〔2〕如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
〔3〕如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②假设正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
考点：
四边形综合题．
分析：
〔1〕三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；
〔2〕同〔1〕相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC；
〔3〕首先证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，那么OC即可求得．
解答：
证明：〔1〕∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
那么在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF〔SAS〕，
∴BD=CF，
∵BD+CD=BC，
∴CF+CD=BC；

〔2〕CF﹣CD=BC；

〔3〕①CD﹣CF=BC
②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF〔SAS〕，
∴∠ACF=∠ABD，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O．
∴DF=AD=4，O为DF中点．
∴OC=DF=2．
点评：
此题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三角形全等是关键．
27．〔10分〕〔2022•绥化〕为了迎接“十•一〞小长假的购物顶峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋
价格
甲
乙
进价〔元/双〕
m
m﹣20
售价〔元/双〕
240
160
：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
〔1〕求m的值；
〔2〕要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润〔利润=售价﹣进价〕不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案
〔3〕在〔2〕的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a〔50＜a＜70〕元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货
考点：
一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．37
分析：
〔1〕用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可；
〔2〕设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋〔200﹣x〕双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；
〔3〕设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．
解答：
解：〔1〕依题意得，=，
整理得，3000〔m﹣20〕=2400m，
解得m=100，
经检验，m=100是原分式方程的解，
所以，m=100；

〔2〕设购进甲种运动鞋x双，那么乙种运动鞋〔200﹣x〕双，
根据题意得，，
解不等式①得，x≥95，
解不等式②得，x≤105，
所以，不等式组的解集是95≤x≤105，
∵x是正整数，105﹣95+1=11，
∴共有11种方案；

〔3〕设总利润为W，那么W=〔140﹣a〕x+80〔200﹣x〕=〔60﹣a〕x+16000〔95≤x≤105〕，
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
所以，当x=105时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，〔2〕中所有方案获利都一样；
③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
所以，当x=95时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
点评：
此题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，〔3〕要根据一次项系数的情况分情况讨论．
28．〔10分〕〔2022•绥化〕如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC〔OA＞OC〕的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．
〔1〕求C点坐标；
〔2〕求直线MN的解析式；
〔3〕在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
考点：
一次函数综合题
分析：
〔1〕通过解方程x2﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．那么C〔0，6〕；
〔2〕设直线MN的解析式是y=kx+b〔k≠0〕．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
〔3〕需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．
解答：
解：〔1〕解方程x2﹣14x+48=0得
x1=6，x2=8．
∵OA，OC〔OA＞OC〕的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根，
∴OC=6，OA=8．
∴C〔0，6〕；

〔2〕设直线MN的解析式是y=kx+b〔k≠0〕．
由〔1〕知，OA=8，那么A〔8，0〕．
∵点A、C都在直线MN上，
∴，
解得，，
∴直线MN的解析式为y=﹣x+6；

〔3〕∵A〔8，0〕，C〔0，6〕，
∴根据题意知B〔8，6〕．
∵点P在直线MNy=﹣x+6上，
∴设P〔a，﹣a+6〕
当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，那么P1〔4，3〕；
②当PC=BC时，a2+〔﹣a+6﹣6〕2=64，
解得，a=，那么P2〔﹣，〕，P3〔，〕；
③当PB=BC时，〔a﹣8〕2+〔﹣a+6﹣6〕2=64，
解得，a=，那么﹣a+6=﹣，∴P4〔，﹣〕．
综上所述，符合条件的点P有：P1〔4，3〕，P2〔﹣，〕P3〔，〕，P4〔，﹣〕．

点评：
此题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质．解答〔3〕题时，要分类讨论，防止漏解．另外，解答〔3〕题时，还利用了“数形结合〞的数学思想．